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1、演讲者：丁时进教授 时 间：2006年11月30日一.分析数学的发展历程：1.初创现代分析数学的发展应该起源于微积分的 发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿 （16421727）和莱布尼茨（1646 1716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等 著名学者使微积分学产生萌芽。牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。流数术：“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过 来”牛顿的微分和积分的观点互逆运 算：微积分学基本定理。(1736年发表 )莱
2、布尼兹：考察切线，第一次引入了 符号，沿用至今。1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是已死量的 幽灵，因为是费马略去的无穷小量 ，还是 牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 又不 是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。达朗贝尔将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量 天文，物理，力学问题，著有无穷小分析引 论。拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。但至此，微积分学的基础还没有找 到合适的解决办法。所以，法国哲学家 伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一 个其存在性是无从想象的东西的艺术。”柯西分
3、析教程：“若代表某变变量的一串 数值值无限地趋趋向于某一数值值，其差可以任意小 ，则该则该 固定值值称为这为这 一串数的极限”，他将分 析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限 趋趋向”，“要多小就有多小”一类类不严严格的语语言 。魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思 想“算术化”，出现了至今通用的 语言。语言柯西准则构成微积分 的基础“极限论”的基础。2.微积分的基础3.实数理论在十九世纪分析学发展的同时，人类也 完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是 有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成 了一个循环论证。梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列
4、。戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。勒贝格（1875-1941）创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。复变函数论的发展，形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论 泛函分析。此外还有傅立叶分析等。4. 20世纪分析学的发展20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及 多变量函数的整体性质，形成流形上的分析 。 流形上的分析结合了微分几何学偏微分 方程多复变函数论，成为当代数学的主流 方向。外微分形式反函数理论，成为当代分析学的基础知识。同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活
5、跃的数学分支之一，其基础理 论是算子理论。泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔 伯特空间巴拿赫空间广义函数论成为常识。现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。从上面可以看到，分析数学的发展经 历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。 二.从“数“到”泛函分析“的知识体系数（自然数整数有 理数实数复数）变量函数（描述变量之间的 变化关系）极限函数的分析性质，实数理论的建 立（有限维欧式空间上的定义的 函数）实分析（Lebesgue积分理论函数空间的研究（Hilbert空 间，Banach空间无限维 空间）函数空间上定义的函数，即泛函或算子派生：微分几何学
6、，复变函数，微分方程等；现代：流形流形上的分析学。三、用现代数学的观点看已学过数学知识从上面的发现过程看来，可以归结为：第一阶阶段：变变量取的是“数“，函数就 是通常所说说的函数第二阶阶段：变变量取的是“函数空间间中的 元素” 函数变变成了泛函。所以，总总是首先对变对变 量所在的“空间间” 研究清楚，才能研究定义义在这这个“空间间”上 的“函数”。变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他 上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。小学就开始学习习“距离空间间”。如，直 线线 上点与点之间间的距离。中学时时学习习的作为为两个点(x1,y1)和(x2
7、,y2)之间的距离。其实实，现现在我们们知道，还还可以采用很 多方法定义义距离。2.在空间上定义拓扑定义收敛性一般说说来， 中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。 但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一 定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连 续性“条件（Arzela-Ascoli）.5.现在我们看看“函数空间”1在 上连续的函数的全体构成一个集合 。按照通常的加法和数乘，构成 一个线性空间，把里面的元素视为点。1 Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它 是Lebesgue可积的.2积分与
8、极限交换顺 序的问题6.另三个典型的例子可以看到人类认识的发展：3在通常意义义和Lebesgue意义义 下都无法解释释的“函数”四、几个问题a.极值问题从函数极值到短程线问题半正定极小半负定极大泛函的极值：短程线，障碍问题（1）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑 曲线由定点 A滑行到定点B（B低于A但不 在同一条垂直于地面的直线上），为使滑 行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？ AyBx分析：AyBx(2)短程线 众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为 直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题： 要在山坡上修建一条最 短的公路连接两个居民 点A、B，问如何选线？分析：设山坡的曲面方程为
9、F(x,y,z)=0,设连接A、B的曲线为： y=y(x)z=z(x)则A、B 间曲线 的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲 线中，确定一条围成最大面积的曲线。设曲线方程为是定长，则面为 ，求A在约束条件之下求最小值等周问题。历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下 面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年（1）在具有给定周长的所有平面图形中， 圆的面积最大。 （2）在所有给定面积的平面图形中，圆的 周长最小。 （1）在具有给定表面积的所有立体图形中 ，球的体积最大。 （2）在具有给定体积的所有立体图形中， 球的表面积
10、最小。等周定理：其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边 缘 ，则弧长为但是要保证其中 是W的边界方程。（5）球面上的短程线（6）不动点定理从一维到高维求解非线性问题i. 设 在 上连续，且 ，则存在 ,使得即： 连续且将 映到自身，那么在 中有不动点，此为Schauder 不动点。ii.压缩映象原理如果函数 定义在 上，且存在 使得那么存在唯一的 使得iii.高维如果一个连续映射把一个闭单位球 映到自己，那么这个闭单位球内有这个映 射的不动点。 还有类似的压缩映射原理iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原理， B
11、rower不动点原理，Leray Schauder不动 点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。五、总结可供选择的题目1、变分问题3、函数方程常见解法4、隐函数定理及其应用2、不动点定理及其应用5、中学如何讲授微积分（在没有 的情况下）6、中学数学问题中的微分方程7、从分析角度谈数系8、球面上三角形的计算问题9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义（有界、无界、渐近线等） 12、不等式的证明从离散到积分形式（函数的导数、积分、凹凸性）10、复数方法解决中数问题13、用拓扑的观点看函数的连续性和一致连续性六、现在，把上面提到的有些问题作一些解释1、关于函数方程其他函数方程：其他方程如：待
12、定系数法、极限、幂级数法微积分法还可用于可以从已知函数所满足的关系式反过来思考，再讨论一些函数方程。参考文献：王向东等著，函数方程及其应用，上海科技文献出版社，20032、函数的迭代与不动点设连续函数 f : RR，复合函数f(f(x)记作 f2 (x) f(f(x),类似的定义 f(f(f(x)=f3(x), ,f(f(f(x)=fn(x), 称为函数的迭代。视n次迭代fn 为R中的一个映射。若存在xR，使fn(x)=x，则称x是映射 fn 的不动点。fn 的不动点的集合记作Fix(fn )可以考察：n，极限是什么（对具 体函数或给f 一定的条件）?也可以考察，在哪些条件下，fn 有不动 点
13、，Fix (fn )有什么性质？3、用不动点解非线性问题或用迭代 法求解非线性问题例：设f(x)在a, b上连续，且a f(x) b，x a, b，求证存在x0 a, b ，使x0 =f(x0 )思想：选x1 a, b ，定义xn+1 =f(xn)，n=1，2，证明xn 收敛且极限x0就是不动点。思考：推广到高维映射；应用到其他的问题；*2006年高考题：A是由定义在 2, 4 上具有满足如下条件的函数 组成 的集合：4、解微分不等式Gronwall不等式由在一定条件下研究 的性质，推广到其 他多种变形。Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要 工具。5、常微分方程有限时刻爆破的问题例： 对一阶非线性常微分方程当 满足什么条件时，一定在某个有限时刻 爆破，即： 也可研究任意时刻不爆破.还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边值问题。甚 至可以推广到偏微分方程*科学研究常用步骤：选题 调研 收集资料（卡片） 写作 遇到问题再查资料 解决一部分问题推广
