广义函数介绍

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1、 3 广义函数大意定义1（基本空间）设 是 上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数 全体.按照通常的加法和数乘，它成为线性空间，在其中定义极限概念如下：设 若 （1）存在一个与n无关的公共有限区间 ，使 在 外为0，n=1,2,; （2）在 对每一非负整数q，函数列 一致收敛于 。 则称 在 中收敛于 ,记为 , 称为基本空间.空间 的这种收敛性不能容纳在距离空间的收敛性之中，即我们无法定义一个距 离d 使 等价于 .定义2（广义函数） 上的连续线性泛函 称为广义函数.记为 ,或 ,或简 记为 . 例1 局部可积函数是广义函数. 我们把在任何区间上都L可积的函数称为局部可积函数，其全体记为

2、.设 则可用 定义一个 上的连续线性泛函 ：对任何 ，对应 ，由于 ,在某 有限区间外为0, 故上述积分有意义.它显然是 上连续线性泛函.我们还可以证明，对对应广义函数是一对一地，即如果 且 对一切 成立，则 a.e.于R。这样，局部可积函数就可以一对一地嵌入 上连续线性泛函空间，作为它的 一部分，即是广义函数.例2 现在我们可以给本节开始时引进的 一个严格的数学定义。如果 上的连续线性 泛函由下式给定：对一切 ，对应数值 ，称这一泛函为 ，换句话说，对 一切 ，有。这一定义正是 的严格化。为 上连续线性泛函是不难验证的：； 当 时，这意味着在任何有限区间上各阶导数（包括零阶导数 ）一致收敛，

3、当然更有 ，即 。这样一来，我们确实得到了一个新的概念，它包括通常的局部L可积函数在内， 又包含超出通常函数概念的 在内。最后，让我们介绍广义函数的导数。按照分部积分法，对通常的一阶连续可导 函数 ， 在 外为0，所以 = ，则有：于是受此启发可定义广义函数 的导数 为下述的广义函数：. 由于 是无限次可微的， 有意义，而且 意味着各阶导数都一致收敛于 的相应导数，自然也有 ，所以由 是连续线性泛函知 也是连续线性泛函。同样可定义二阶以至任意阶的导数。这 样一来，基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上了。例3 设 在x0时为0，在x0时恒为1，这时 ， 作为广义函数有导数 ，这是因为同样可验证 。=-=- 假若我们定义 为 对一切 成立，那么微分运算和极限运算的交换就是显然的：广义函数的优越性由此可见一斑。