矩阵及其运算习题课

《矩阵及其运算习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵及其运算习题课（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章第二章 矩阵及其运算习题课矩阵及其运算习题课术洪亮矩阵是线性代数中非常重要理论 之一，它贯穿线性代数内容的始终， 在本章中首先介绍了矩阵的一些基础 知识，其主要内容可概括为：矩 阵概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等； 运算：线性运算，矩阵乘法；方阵对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵特殊矩阵三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵对称矩阵、反对称矩阵矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非 奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆。关于矩阵的乘法AB，注意 当A的列数与B的行数相同时 才可以相乘，而且矩阵乘法 不满足交换律，消去律，即 AB=AC时，不一定有

2、B=C， AB=0时，不一定有A=0，或B=0， 但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC，AB=0， 则有B=C，B=0，逆矩阵，注意l例1：若n阶矩阵A的行列式为求：解：因为数3乘以A相当于用3去乘 A的所有元素，3A的行列式 是每 行含有公因子3，共提出n个3，所以： 同理可 逆 ，例 2：设A为 n阶可逆矩阵，求解 ：例3：设求解 ：例4：设A、B为n阶方阵，且求解 ：为的转置，求 解 ：例5：设其中所以 ， 故例6：求矩阵的伴随矩阵 和逆矩阵解 ：而例7：设求把A分块为其中则例8：已知且AX+B=X，求矩阵X解：由AX+B=X，得X-AX=B、（E-A）X=B且E-A可逆例9：设矩阵X满

3、足求矩阵X解：由于所以可逆例10：设AP=PB，其中求A及解：可逆例11：设A，B均为n阶矩阵，如果 AB可逆，则A，B均为可逆矩阵。证 ：可逆即均为可逆矩阵 例12：设A，B均为n阶方阵，且证明当且仅当证：若则有将A代入即得 由若则证毕例13：已知n阶方阵A满足 证明A可逆 .证:由得可逆.例14:设A ,B为n阶方阵 ,且A为对称矩阵,证明也为对称矩阵证:为对称矩阵.例15:已知n阶方阵A满足证明 A-E ,A-2E 均可逆 。 证：由得可逆可逆由得例16：如果矩阵A满足 则称A为反对称矩阵，证明任一n阶 方阵B均可表示成一个对称矩阵和 一个反对称矩阵之和。证 ：为反对称矩阵为对称矩阵，因此结论得证 。例17：设n阶矩阵A的伴随矩阵为证明 1. 若则2.证：1.假设则可逆令矛盾若则若则由1.知证毕例18：设n阶矩阵A及m阶矩阵B都可逆求解：设为其中为待定矩阵则由为单位矩阵即例19：设均为可逆阵，则为解：因为故答案选（b)