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1、2 2 线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质 与简单性质 3 3 维数维数 基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合 映射映射5 5 线性子空间线性子空间7 7 子空间的直和子空间的直和8 8 线性空间的同构线性空间的同构6 6 子空间的交与和子空间的交与和小结与习题小结与习题第六章第六章 线性空间线性空间*数学与计算科学学院一、一、线性子空间线性子空间 二二、生成子空间、生成子空间 6.5 6.5 线性子空间线性子空间DateDate数学与计算科学学院一、线性子空间一、线性子空间 1 1、线性子空间的定义、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合若W
2、对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间注： 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念. 维数.DateDate数学与计算科学学院2 2、线性子空间的判定、线性子空间的判定 ，若W对于V中两种运算封闭，即 则W是V的一个子空间 定理定理：设V为数域P上的线性空间，集合 推论推论：V为数域P上的线性空间, 则W是V的子空间DateDate数学与计算科学学院 ， . 且对 ， 由数乘运算封闭，有 ，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立就是V中的零元， 3）成立由于 ，规则1）、2）、5）、
3、6）、7）、8）是显然成立的下证3）、4）成立 由加法封闭，有 ,即W中的零元证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则 DateDate数学与计算科学学院例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则Rx为V的一个子空间 例3 Pxn是Px的的线性子空间 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间 DateDate数学与计算科学学院的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ()的解空间W的维数n秩(A)，
4、 ；例4 n元齐次线性方程组 () 注注 ()的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组()的解空间量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子DateDate数学与计算科学学院例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.事实上，W1 是n元齐次线性方程组的解空间. 所以，维W1 n1，的一个基础解系DateDate数学与计算科学学院就是W1 的一组基.而在 W2中任取两个向量 ，设则故W2不是Pn的子空间.DateDate数学与计算科学学院故，W3为V的一个子空间，且维W3 n1
5、 ，则有 其次， 设下证W3是Pn的子空间.就是W3的一组基.DateDate数学与计算科学学院例6 设V为数域P上的线性空间， 则W关于V的运算作成V的一个子空间 即 的一切线性 组合所成集合.DateDate数学与计算科学学院称为V的由 生成的子空间，二、一类重要的子空间二、一类重要的子空间 生成子空间生成子空间 定义：V为数域P上的线性空间， 则子空间 ，记作 称 为 的一组 生成元.DateDate数学与计算科学学院例7 在Pn 中， 为Pn的一组基，即 Pn 由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.DateDate数学与计算科学学院有关结论有
6、关结论1 1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 是W的一组基，则有2 2、（定理定理3 3） 1） ； 为线性空间V中的两组向量，则与 等价 2）生成子空间 的维数向量组 的秩DateDate数学与计算科学学院证：1）若 则对 有 ， 从而 可被线性表出；同理每一个 也可被 线性表出. 所以， 与 等价 ， 可被 线性表出， 从而可被 线性表出，即 反之， 与 等价 DateDate数学与计算科学学院所以, 同理可得， 故， 由3定理1， 2）设向量组 的秩t，不妨设 为它的一个极大无关组 因为 与 等价， 就是 的一组基， 所以， 的维数tDateDate数学与计算科学学院无关组，则推论：
7、设 是线性空间V中不全为零的一组向量， 是它的一个极大3 3、设 为P上n维线性空间V的一组基，则 的维数秩(A).A为P上一个 矩阵，若DateDate数学与计算科学学院证：设秩(A)r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2， 则A(A1, A2)，且秩(A1)秩(A)r，设 即 下证 线性无关.DateDate数学与计算科学学院是V的一组基，又秩(A1)r，方程组只有零解，即线性无关.从而DateDate数学与计算科学学院任取 将A的第 j 列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则 则有即 设 DateDate数学与计算科学学院从
8、而有而秩(Bj)r， 有非零解，故有不全为零的数故 为 的极大无关组，所以 的维数r秩(A).线性相关.DateDate数学与计算科学学院则向量组 与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组 的一个极大无关组，从而求出生成子空间 的维数与一组基.注：注：由证明过程可知，若 为V的一组基，DateDate数学与计算科学学院为 V 的一组基即在 V 中必定可找到 nm 个向量设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，4 4、（定理定理4 4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使 为 V 的一组基扩基定理证明：对nm作数学归纳法当 nm0时，即 n
9、m，定理成立就是V的一组基.假设当nmk时结论成立.DateDate数学与计算科学学院因 n(m1)(nm)1(k1)1k，下面我们考虑 nmk1 的情形必定是线性无关的既然 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量 不能被线性表出，把它添加进去，则由定理3，子空间 是m1维的可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证. 由归纳假设， 的基DateDate数学与计算科学学院它扩充为P4的一组基，其中例8 求 的维数与一组基，并把解：对以 为列向量的矩阵A作初等行变换DateDate数学与计算科学学院由B知， 为 的一个极大故，维 3，就是 的一组基.无关组.DateDate数学与计算科学学院则 线性无关，从而为P4的一组基.DateDate数学与计算科学学院练习练习设V为数域P上的线性空间， 为V的一组基， 且求 的一组基，并把它扩充为V的一组基.DateDate数学与计算科学学院令 对A作初等行变换解：DateDate数学与计算科学学院则 线性无关，从而为V的一组基.又由B知，A的列向量线性无关，从而 线性无关. 故 为 的一组基.DateDate数学与计算科学学院
