2011届高考数学文科考点专题复习48

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1、 基础知识 一、棱柱的概念与性质 (1)棱柱的概念 如果一个多面体有两个面 ，而 其余各面都是 形，并且每相邻两个的公共边都 ，由此面围成的叫做棱柱 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱；侧 棱 底面的棱 柱叫做直棱柱；底面是 的直棱柱叫做正棱柱互相平行四边四边形互相几何体垂直于不垂直于正多边形平行 (2)棱柱的性质 所有的侧棱都相等，各个侧面都是 ； 两个底面与平行于底面的截面是对应 边互相平行的； 过不相邻的两条侧棱的截面都是 (3)棱柱的侧面积和体积公式 直棱柱的侧面积和体积公式 如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那 么它的侧面积是S直棱柱侧 . 如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那 么它的体积是

2、V直棱柱 .平行四边形全等多边形平行四边形chSh 斜棱柱的侧面积和体积公式 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每 条侧棱都相交的截面)的周长为 c，侧棱 长为 l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧 . 如果斜棱柱的直截面的面积为 S，侧棱 长为 l，那么它的体积是V斜棱柱 .clSl 二、长方体 (1)几个概念：底面是 叫做平行六面体 叫做直平行六面体， 叫做长方体 叫做正方体 (2)长方体的对角线的性质：长方体的一 条对角线长的平方等于 平行四边形的四棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体一个顶点上三条棱长的平方和 温馨提示：(1)正四棱柱是底面为正方形 的

3、直四棱柱，因此正四棱柱一定是长方体 ，长方体不一定是正四棱柱 三、棱锥的概念和性质 (1)棱锥：如果一个多面体的一个面是多 边形，其余各面是的三角形， 那么这个多面体叫做棱锥 (2)性质定理：如果棱锥被平行于底面的 平面所截，那么所得的截面与底面相似， 并且它们面积的比等于 有一个公共顶点截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比 归纳拓展：(1)如果棱锥的各侧棱相等或 各侧棱与底面成等角，那么顶点在底面上 的射影是底面多边形的外心； (2)如果棱锥的各侧面与底面所成二面角 均相等，那么顶点在底面上的射影是底面 多边形的内心； (3)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那 么顶点在底面上的射影是底面三角形

4、的垂 心 四、正棱锥的概念与性质 (1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是 ，并且顶点在底面的射影是 ，这样的棱锥叫做正棱锥 (2)正棱锥的性质： 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 ，各等腰三角形底边上的高 叫做正棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射 影组成一个；正棱锥的高、侧棱 、侧棱在底面内的射影也组成一个正多边形 底面的中心相等全等的等腰三角形直角三角形直角三角形 五、棱锥的面积与体积 (1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和 侧面积(S侧)之和，即S全 若c为正棱锥的底面周长，h为斜高，则S侧 ch. (2)棱锥的体积等于它的底面积(S)与高(h) 的乘积的三分之

5、一，即V棱锥 Sh.S底S侧 易错知识 一、概念理解错误 1下面是关于正三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的 二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底 面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的 三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形 ，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 ；侧棱与底面所成的角都相等，且侧面 与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正 三棱锥 其中，真命题的编号是_(写出所 有真命题的编号) 解题思路：顶点在底面内的射影是内心 ，又底面是正三角形，故为中心，正 确；如图(1)中，ACBCCDBD ADAB，每个侧面都是等腰三角形，但 此棱锥不是正三棱锥，错误；如图 (2)，以正六边

6、形ABDEFG的一边AB为边 ，作正ABC，正六边形的中心O为三棱 锥SABC的顶点S的射影满足条件： 三棱锥的侧面积全相等，但不是正三棱锥 ，错误；由已知，顶点在底面内的 射影是底面三角形的内心，也是外心，故 底面三角形为正三角形，又可推导出各侧 棱、斜高彼此相等，故各侧面为具有公共 顶点的等腰三角形，故棱锥为正三棱锥， 正确综上所述正确 失分警示：误区1：判断是错误的，原 因是把多面体的底面理解为其底面所在的 平面，如图(2)，二面角SACO、S BCO、SABO都相等，但不是正棱 锥注意，侧面SAB与底面ABC所成的 二面角是SABC，不是SABO. 误区2：判断或是正确的，直观认为 正

7、三棱锥满足、的条件，而又举不出 反例，就认为正确 误区3：判断错误，原因是由三角形的 内心、外心重合而推导不出三角形为正三 角形，或者对正三棱锥的概念理解不透， 底面是正三角形，顶点在底面内的射影是 底面正三角形的中心两个条件吃不准，而 妄加判断 启示：对棱柱、棱锥、正棱柱、正棱锥的 有关概念，相应性质要深刻理解，把握准 确，特别是正棱柱、正棱锥条件要求很高 ，不可缺少 答案： 二、公式应用错误 3如图，设三棱柱ABCA1B1C1的体积 为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点 ，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体 积为( ) 解题思路：设侧面AA1C1C的面积为S，B 到侧面AA1C1C

8、的距离为h，则V Sh.由 于PAC1Q.则PQ平分侧面AA1C1C的面 积，即四边形APQC的面积为 S，由棱 锥的体积公式得VBAPQC 失分警示：三棱柱的体积由一个侧面面积 S与这个侧面和它相对棱的距离h表示为V Sh(可以用补形法推导公式)这个公 式可能有的同学记不住或不会灵活应用， 而使本题思维受阻 答案：C 回归教材 1下列说法正确的是() A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱 柱 C底面是正多边形的棱柱是正棱柱 D侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱 解析：考查4个命题： A不正确，两个相对的侧面是矩形，但另 一对相对侧面不是矩形，这样的棱柱不是 直棱柱；

9、 B正确，根据两相交平面垂直于第三个平 面，那么它们的交线也垂直于这个平面， 可得到侧棱必垂直于底面； C不正确，当侧棱不与底面垂直时，不是 正棱柱； D不正确，如底面是菱形的直棱柱符合条 件，但这样的棱柱不是正棱柱故选B. 答案：B 2(教材改编题 )有四个命题：底面是 矩形的平行六面体是长方体；棱长相 等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱 都垂直于底面一边的平行六面体是直平 行六面体；对角线相等的平行六面体 是直平行六面体其中正确的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：对于，不正确，因为底面是矩形 ，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然 是斜平行六面体；对于，不正确，若底 面是菱形，底面

10、边长与棱长相等，但该直 四棱柱不是正方体；对于，不正确，因 为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两条 侧棱所在的侧面是矩形，但是不能推出侧 棱与底面垂直；对于，正确，由对角线 相等可得出平行六面体的对角面是矩形， 从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面 体是直平行六面体 答案：A 3正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为 直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( ) 答案：C 4(教材改编题 )已知长方体的高是2cm ，长与宽的比为4 3，一条对角线长为 则它的长与宽分别为 ( ) A4,3 B3,4 C8,6 D6,8 答案：C 5(2009江苏，8)在平面上，若两个正 三角形的边长 的比为1 2，则它们的

11、面 积比为1 4.类似地，在空间中，若两个 正四面体的棱长的比为1 2，则它们的 体积比为_ 答案：1 8 【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等 ，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱 称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 ( ) A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相 等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面 角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接 圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 思路点拨 过顶点作底面的垂线，找到 线面角；利用四点共圆的条件判断A、C ；找到球心判断D. 解析 如图所示， 等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面 的射影也相等，则其腰与底面所成的角相 等，即A正确；底

12、面四边形必有一个外接 圆，即C正确；在高线上可以找到一个点 O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相 等，这个点即为外接球的球心，即D正确 ；但四棱锥的侧面与底面所成的角不一定 相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅 命题B为假命题 答案 B 拓展提升 解决这类问题需在理解棱柱 、棱锥几何特征与性质的基础上，准确理 解几何体的定义，把握几何体的结构特征 ，高考中往往综合考查线面位置关系，需 要有较强的空间想象能力当需要否定一 个命题时，举一个反例即可作为选择题 ，利用四选一的特点，排除三个，可确定 第四个为答案 探究 等腰四棱锥的底面形状确定吗？ 解析 不确定根据定义，底面四边形 只要是一个圆内接四

13、边形即可 下面是关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该 四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧 棱的截面都垂直于底面，则该 四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面两两全等，则该 四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号) 答案： 解析：若有两个侧面垂直于底面，如果是两个相邻的侧面垂直于底面，则其交线必垂直于底面，就可以判定为直棱柱如果是两个相对的侧面垂直于底面，则不能判定但题目没有强调是相邻，所以不能判定 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则其交线垂直于底面，而侧棱与该交线平行，所以侧棱垂直于底面，满足条件的四棱柱

14、为直棱柱 由各边长相等且全等的菱形为侧面，可组成一个四棱柱，则其可能为平行六面体，而非一定是直四棱柱 四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形，若其对角线相等则其为矩形，即侧棱垂直于底面，所以满足条件的四棱柱为直 四棱柱. 【例2】 如图，在多面体ABCDEF中， 已知ABCD是边长为 1的正方形，且 ADE、BCF均为正三角形，EFAB ，EF2，则该 多面体的体积为() 解析 如下图所示，过BC做EF的直截 面BCG，做面ADM面BCG， 答案A (2009辽宁，11)正六棱锥P ABCDEF中，G为PB的中点则三棱锥 DGAC与三棱锥PGAC体积之比为 ( ) A1：1 B1：2 C2： 1

15、 D3：2 答案：C 解析：G为PB中点， VPGACVPABCVGABC 2VGABCVGABCVGABC. 又多边形ABCDEF是正六边形， SABC SACD， VDGACVGACD2VGABC， VDGAC VPGAC2：1. 【例3】 (2009山东，18)如图所示，在 直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4， BCCD2，AA12，E，E1分别是棱 AD，AA1的中点 (1)设F是棱AB的中点，求证：直线 EE1平面FCC1； (2)求证：平面D1AC平面BB1C1C. 证明 (1)证法一：取A1B1的中点为F1， 连结FF1，C1F1， 由于FF1BB1CC1，所以F1平