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1、第 1 页 共 21 页新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义解三角形解三角形 内容简介：内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例解三角形应用举例【知识要点知识要点】 要点一、解三角形应用题的步骤要点一、解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识， 解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是： (1)准确理
2、解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间 的关系； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； (3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的 求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题. 要点诠释： 要点二、解三角形应用题的基本思路要点二、解三角形应用题的基本思路 实际问题实际问题 画图 数学问题数学问题 解三角形 数学问题的解数学问题的解 检验 实际问题实际问题 的解的解 要点三、实际问题中的一些名词、术语要点三、实际问题中的一些
3、名词、术语 仰角和俯角仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰 角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比， 常用字母 i 表示。坡比是坡角的正切值。 方位角与方向角：方位角与方向角：方位角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为 0360。如图，点的方位角是。B0135第 2 页 共 21 页方向角：方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向 线所成的角(一般指锐角
4、)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转） ；060060如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.030030东南方向：东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型要点四、解三角形应用中的常见题型 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有： 1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程 中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度. 2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”
5、.测量过程中， 要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度. 3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精 度越高 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：距离问题距离问题例例 1.1. (上海高考)如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶 端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 (1)设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2，问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)？ (2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得
6、 38.12，18.45，求 CD 的长 (结果精确到 0.01 米)第 3 页 共 21 页举一反三：举一反三： 【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测DE、C得，又测得两点到隧道口的距离，400m600m60CACBACB、AB、80mAD 40mBE 在一条直线上)，计算隧道的长.(ADEB、DE类型二：高度问题类型二：高度问题例例 2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进 40 米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最60大仰角为，求塔高.30举一反三：举一反三：【变式 1】(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得
7、公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=_m. 【变式 2】在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑3物 AE 的高。类型三：角度问题类型三：角度问题 例例 3.甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向南偏 西 60o方向行
8、驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？AB第 4 页 共 21 页举一反三：举一反三： 【变式 1】两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏西30 ，灯塔 B 在观察站 C 南偏西 60 ，则 A、B 之间的距离为 ；【变式 2】如图示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于，灯塔 A 在观察akm站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )A. B. C. D. akm3akm2akm2akm【变式 3】如图所示，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 为()
9、km 的 B 处有一艘走私31船.在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2 km 的 C 处的缉私船奉命以km/h 的速度追截走私船.此10 3时走私船正以 10km/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私 船?并求出所需要的时间.第 5 页 共 21 页1、选择题选择题1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得 AC 的长度为4 米,则其跨度 AB 的长为( )030AA.12 米 B.8 米 C.米 D. 米 3 34 32.某人向正东方向走了 x 千米后，他向右转 150，然后朝新方向走了 3 千米，结果他离出发点恰好千米，那么 x 的值为(
10、 )3A. B.或 C. D.332 332 33.在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30、60，则塔高为( )A.米 B. 米 C. 米 D.米400 3400 3 3200 3 3200 34.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为( )3:4i cosA. B. C. D.3 54 53 44 35如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B 两点的距离为( )A m B m50 250 3C m D. m25 225 2 26(
11、 四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75、30，此时气 球的高是 60m，则河流的宽度 BC 等于( )A240(1)m B.180(1)mC120(1)mD30(1)m3233填空题填空题7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在20/km hAB1h处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 ；CB75BC BCA第 6 页 共 21 页8. (四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时 气球的高是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 m(用四舍五入法将结果
12、精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)39. (河南高考)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60已知山高 BC100m，则山高 MN m解答题解答题10如图所示，已知 A、B 两点的距离为 100 海里，B 在 A 的北偏东 30处，甲船自 A 以 50海里/小时的速度向 B 航行，同时乙船自 B 以 30 海里/小时的速度沿方位角 150方向航行问航行几小时，两船之间的距离最短？11我炮兵阵
13、地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 DC=6000 米，ACD=45，ADC=75，目标出现于地面点 B 处时，测得BCD=30，BDC=15(如图所示)求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)第 7 页 共 21 页12一辑私艇发现在北偏东 45方向，距离 12 海里的海里上有一走私船正以 10 海里/小时的速度沿南偏东 75方向逃窜，若辑私艇的速度为 14 海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若45要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值13. 如图，A、B 是水平面上的两个点，相距 800m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 25，BAD=11
14、0，又在 B 点测得ABD=40，其中 D 是点 C 在水平面上的垂足，求山高 CD.(精确到1m)14.如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛 B,然后从 B 出010560 nmile发,沿北偏东的方向航行后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应03060 2 nmile该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?第 8 页 共 21 页15.如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里的 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前
15、往 B 处救援？(角度精确到 1，sin 41)3 7第 9 页 共 21 页新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义解三角形解三角形 内容简介：内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例解三角形应用举例【知识要点知识要点】 要点一、解三角形应用题的步骤要点一、解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识， 解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是： (1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间 的关系； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； (3) 分析与所研究的问题有关的一
