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1、三、多元函数的极限二、多元函数的概念四、多元函数的连续性五、小结 思考题第一节 多元函数的基本概念一 、区域1.邻域(neighborhood)一、区域(region)2.内点(inner point)、边界点和聚点的边界的边界点的全体称为)(boundaryEE举 例(point of accumulation)3.开集(opener)与闭集(closed set)例如即为开集；即为闭集； 即非开集也非闭集.4.有界集(bounded set)与无界集一个集合如果不是有界集，就称为无界集. 5.区域、闭区域连通的开集称为区域(region)或开区域例如，例如，注：n维空间中邻域、区域等概念内
2、点、边界点、区域等概念也可定义邻域：二、多元函数的概念 (functions of several variables) 定义例1 求 的定义域解所求定义域为二元函数 的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,如右图，为球面.单值分支:约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明 外,其定义域是指的自然定义域与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元 函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的 点集称为这个多元函数的自然定义域一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的 定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义 仍然适用.三、多元函数的极限说明：（1）定义中 的方式是任意的，
3、即；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例2 求证 证当 时，原结论成立例3 求极限 解其中例4 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在不存在.观察播放确定极限不存在的方法：推广 :四、多元函数的连续性定义例5 讨论函数在(0,0)处的连续性解 取故函数在(0,0)处连续.当 时例6 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化， 极限不存在故函数在(0,0)处不连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成 的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内
4、的区域或闭区域例解闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数是D上的 有界函数在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）五、小结区域、多元函数的概念思考题思考题解答有.练 习 题5、练习题答案不存在.观察观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.
