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1、智能控制原理及应用第二章 模糊理论基础制作人制作人 柏艳红柏艳红u模糊数学模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清”的意思。而数学是非常严格、非常精确的东西。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具有的模糊特征（即模糊概念）。“模糊”是指它的研究对象，“数学”是指它的研究方法。u模糊概念在自然语言中，常用的描述事物特征的一些概念是模糊的。如健康状况一栏中，填“好、比较好、良好等”，至于什么样的身体属于好，什么样的属于良，很难确切地规定。再如，将人按年龄分为“年轻人、中年人、老年人” （从宏观上把握事物的主要特征和便于处理，人为将其模糊化）。再如，在水箱液位、温度等控制中，有经验的操作
2、工会根据被控制量的大小（高，过高、低），操作阀门等（开大、开小）。引言u 普通数学对模糊概念的描述以年龄为例，传统的方法是规定一些域值来定义的。用y代表年龄，y=60为“老年”。这种方法简单，但过于绝对化。实际上人是随着年龄的增长逐渐地由青年步入中年，再走向老年的，这些概念之间本来就没有明确的界限。传统数学的基础是集合论，这些集合的边界必须是明确的，一个对象要么属于，要么不属于，二者必居其一。传统数学不能描述和处理这种没有明确边界的模糊概念，模糊数学便应用而生。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国的自动控制专家L.A.Zadeh教授，他创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。u 模糊技术
3、的应用领域地铁机车、机器人、过程控制、故障诊断、交通管理、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等领域。引言第一节 模糊集合及其运算2.1.1 模糊集合的定义及相关概念1模糊集合（Fuzzy Sets）给定论域U，U到0,1闭区间的任一映射AA：U 0,1uA(u)都确定U上的一个模糊子集A，简称模糊集。A称为模糊集合A的隶属函数（Membership Function）。 若论域中的元素用x表示，则A(x)称为x属于A的隶属度（degree of membership）。u 隶属函数反映了论域中的元素属于该集合的程度。A(x)接近1，表示x属于A的程度高；A(x)接近0，表示x属于A的程度低
4、。论域隶属函数模糊集合的两要素the universe of discourse 2.1.1 模糊集合的定义及相关概念2.1.1 模糊集合的定义及相关概念例如：用论域1，100上的模糊集A、B、C表示“年轻、中年、老年”，A、B、C的隶属函数A(x)、B(x)、C(x)如图所示。30岁的年轻程度为0.75。40岁的人已经不太年轻（0.25），比较接近中年，但属于中年的程度还不太大（0.5），50岁正值中年（1），即将走向“老年”。 显然，用模糊集合能够比较准确地、真实地描述人们头脑中的原有概念，而用普通集合描述模糊性反倒是不准确、不真实的。2.1.1 模糊集合的定义及相关概念2台集合 （Sup
5、port）模糊集合A的台集AS是一个普通集合，它由论域U中满足A(u)0的所有u组成。即如果模糊集合A的台集仅有一个元素u0，且A(u0)=1，则A就是单点模糊集。3单点（singleton）模糊集 模糊集合的Zadeh表示法为4凸模糊集2.1.1 模糊集合的定义及相关概念若A为以实数R为论域的模糊子集，其隶属函数为A(x)，如果对于在任意实数axb，都有 则称A为凸模糊集。凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰值特性。2.1.2 模糊集合的表示法 一、离散论域 设论域为有限集 1. Zadeh表示法2. 序偶表示法3. 向量表示法隶属度为零的项可以不写隶属度为零的项必须写 2.1.2 模糊集合的
6、表示法 例 在由整数1，2，10组成的论域中，即U=1，2，10，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊集A可表示为由上式可以看出，用“几个”表示5个、6个的可能性最大，而通常不采用“几个”表示1个、2个或9个、10个。2.1.2 模糊集合的表示法 二、连续论域 Zadeh表示法为 例 以年龄作论域，取0，200，用模糊集Y表示“年轻”，用O表示“年老”。隶属函数分别为定义为 “年轻”和“年老”模糊集合可以写为2.1.2 模糊集合的表示法 2.1.3 模糊集合的基本运算 设论域U上的两个模糊子集A和B，它们之间的交、并、补运算定义如下。1. F
7、交集A与B的交集，记作AB，有 2. F并集A与B的并集，记作AB，有 2.1.3 模糊集合的基本运算 3. F补集A的补集，记作AC，有ACABAB第二节 常用隶属函数1三角型隶属函数Triangular MFa为三角形左边底角的顶点坐标，b为顶角顶点坐标，c为右边地角顶点的坐标。Matlab函数 Trimf（x，a b c）第二节 常用隶属函数2梯型隶属函数Trapezoidal MFa为梯形左边底角的顶点坐标，b为左边顶角顶点坐标，c为右边顶角顶点的坐标，c为右边底角顶点的坐标 。Matlab函数 Trapmf（x，a b c d） 第二节 常用隶属函数3高斯型隶属函数Gauss MF
8、c为函数的中心点，a为函数曲线的宽度 。Matlab函数 Gaussmf（x，a c） 第二节 常用隶属函数4Sigmoid型隶属函数当a为正时，向右斜；a为负时，向左斜；a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。 Matlab函数 sigmf（x，a c） 第二节 常用隶属函数4Sigmoid型隶属函数a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。 第二节 常用隶属函数5一般的钟型隶属函数 Matlab函数 Gbellmf（） 第二节 常用隶属函数6 双边高斯型 gaussmf（）7 Z型 zmf（）8 型 pimf（）9 双边高斯型 gauss2mf（）10两个sigmoid型函数的积 p
9、sigmf（）11两个sigmoid型函数的和 dsigmf（）第三节 模糊关系及其合成2.3.1 模糊关系的定义1. 集合的直积设有两个集合X，Y，X和Y的直积XY定义为它是由序偶（x，y）的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说XYYX。2.3.1 模糊关系及模糊矩阵的定义2. 模糊关系及模糊矩阵设X、Y是两个非空集合，以直积XY为论域定义的模糊集合R称为X和Y的模糊关系，记为RXY。（1）模糊关系RXY由其隶属函数R(x,y)完全刻画，R(x,y)表示了X中的元素x和Y中的元素y具有关系RXY的程度。（2）当X和Y为有限离散集合时，设X=x1，x2，xn，Y=y1，y2，ym，则X和Y的
10、模糊关系RXY可用nm阶矩阵表示，即这样的矩阵称为模糊矩阵 模糊矩阵是论域为直积XY模糊集。 2.3.1 模糊关系及模糊矩阵的定义u模糊关系和模糊矩阵举例例：X=10，20，40，80，Y=10，20，30，40，“x远大于y”这一模糊关系的模糊关系矩阵为 当x=40，y=20时，“x远大于y”的程度是0.8。 3. 模糊集合的直积2.3.1 模糊关系及模糊矩阵的定义若有两个模糊集A和B，其论域分别X和Y，定义在积空间XY上的模糊集合AB称为模糊集合A和B的直积，其隶属函数为 或者可见，模糊集合A和B的直积是积空间XY上的一个模糊关系。模糊集合A和B的直积所产生的模糊关系在模糊推理及模糊控制中
11、起着十分重要的作用。2.3.2 模糊关系和模糊矩阵的合成运算由于模糊关系和模糊矩阵是定义在直积空间的模糊集合，因此它遵从一般模糊集合（并、交、补等）的运算规则。1模糊矩阵的合成运算设是两个模糊矩阵，它们的合成QR指的是一个n行l列的模糊矩阵S，S的第i行第k列的元素sik等于Q的第i行元素与R的第k列对应元素两两先取较小者，然后在所得的结果中取较大者，即设合成算子“”代表两个模糊矩阵的相乘，它与线性代数中的矩阵乘积相似，只是把普通矩阵乘运算中对应的元素之间的“乘”用取小运算“”来代替，而元素间的“加”用取大运算“”来代替。2.3.2 模糊关系的合成运算例：已知模糊关系矩阵1模糊矩阵的合成运算u
12、模糊矩阵的合成运算举例设A为论域X上的模糊集合，B为论域Y上的模糊集合。根据上述模糊集合的直积和模糊矩阵的合成的定义，当X和Y为离散论域时，A与B的直积（取小运算）为2.3.2 模糊关系和模糊矩阵的合成运算设R1是X和Y的模糊关系，R2是Y和Z的模糊关系，R1和R2的合成R1R2指的是XZ上的一个模糊关系，其隶属函数为 “”表示取大运算，“”表示取小运算，因此称为取大-取小合成（max-min composition）。 2模糊关系的合成运算当论域X、Y、Z为有限集时，可用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成。第四节 模糊逻辑与模糊推理 2.4.1 模糊语言变量 模糊语言变量（linguisti
13、c variables）是自然语言中的词或句，如气温、误差等，它的取值不是通常的常数，而是用模糊语言表示的模糊集。以下将模糊语言变量简称语言变量。 一个语言变量可由以下的五元体来表征 X为语言变量的名称；T(x)语言变量值的集合；U为x的论域；G为语法规则（用于产生各语言变量值x的名称）；M为语义规则（用于产生模糊集合的隶属函数）。 例如：以控制系统的“误差”为语言变量 x论域取U=-6 6T（x）=T(误差)=负很大、负大、负中、负小、 零、正小、正中、正大、正很大如上所述，每个模糊语言相当于一个模糊集合。 各模糊语言（模糊集合）的隶属函数如图。 2.4.2 模糊命题u 模糊命题（propo
14、sition）：含有模糊概念的陈述句。模糊命题可以用英文字母表示，如P：误差较大。u 模糊命题的真值：模糊命题的真假程度，它是0,1区间上的一个实数。u 单模糊命题：简单的模糊陈述句，其一般形式为P：x 为 Ax为模糊变量，A为某一模糊概念对应的模糊集合。u单模糊命题P的真值V(P)，就由该变量对模糊集的隶属度来表示，即V(P)=A(x)当A(x)=0，表示命题P完全假；A(x)=1，表示命题P完全真；A(x)越接近0，命题P假的程度越大，真的程度越小；A(x)越接近1，命题P假的程度越小，真的程度越大。例 讨论模糊命题Q：天气热。语言变量是气温t，t-40C，50C，定义“热”的模糊集合为H
15、，其隶属函数为H(t)。若今日气温为t=20 C，H(20)=0.4，那么该命题的真值为0.4。也就是说，“天气热”这个命题的真实程度是0.4。2.4.2 模糊命题u 条件模糊命题： “IF THEN ”形式的条件语句，表达两个普通命题之间的因果关系，称为条件模糊命题。模糊控制中的模糊控制规则通常来源于专家的知识，通常采用“IF THEN ”形式来描述。因此，在模糊控制中，模糊控制规则也就是模糊条件句。IF部分为规则的前提，THEN部分为规则的结论。u 复合模糊命题：把简单模糊命题通过联结词联合起来，就构成了复合模糊命题。联结词可以是“与”、“或”、“非”、“若则”等。 2.4.2 模糊命题u 简单模糊命题之间的“与”、“或”、“非”运算设命题P：x 为 A；命题Q：y 为 B。2.4.2 模糊命题（1）“与”运算：P and Q，其真值定义为或者可见“and Method” 代数积Prod 或 取小MinP、Q的真值2.4.2 模糊命题（2）“或”运算：P or Q，其真值定义为或者“or Method” 代数和Probor 或 取大Max（3）“非”运算：not P，其真值定义为可见2.4.3 模糊蕴含（implication）关系条件模糊命题： “如果x是A，则y 是B”，令P：x为A，Q：y为B。则可表
