《高等代数34矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数34矩阵的秩（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义的秩称为矩阵 A 的行秩；则矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵 A 的列秩.矩阵 A 的列向量组设引理 如果齐次线性方程组（1 ）的系数矩阵的行秩 ，那么它有非零解（若(1)只有零解，则 ）定理4 矩阵的行秩矩阵的列秩 证明：设 ，A的行秩r，A的列秩r1， 下证 先证 则向量组 的秩为r， 不妨设 是它的一个极大无关组，于是 线性无关，设A的行向量组为即（2）只有零解.只有零解.所以方程组由引理，方程组（2）的系数矩阵 （未知量的个数）.的行秩是r个线性无关的行向量，中一定可以找到 r 个线性无关的向量.从而在矩阵 的行向量组不妨设则该向量组的延伸组于
2、是矩阵A的列秩 同理可证 .所以 也线性无关 A的列向量矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作秩A 或 、定义注 设 ，则若 则称A为行满秩的； 若 则称A为列满秩的. 若 ，则二、矩阵秩的有关结论定理5 设 ， 则(降秩矩阵)(满秩矩阵)证：若 n 1， 则A只有一个一维行向量0，的 n 个行向量线性相关.从而A0，若 n 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余行向量线性表出，依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.从而在行列式 中，用这一行若 n 1，由 知，对 n 作数学归纳法.A0，从而假若对 n1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形.设 ，为A的行向量.考察A的第一列元素:
3、若它们全为零，则若它们有一个元素不为零，不妨设则 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为其中由 知，由归纳假设，矩阵 的秩n1，从而向量组线性相关， 故在不全为零的数 使改写一下，有线性相关不全为零的n个数推论1齐次线性方程组有非零解 系数矩阵 的行列式 =0只有零解线性相关行列式线性无关行列式n 个 n 维向量推论2定义k 级子式在一个 sn 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵位于这些行和列的交点上的A的一个k级子式 注矩阵 A 的 k 级子式共有 个.有一个 级子式不为0. 个 级子式不等于0，且所有 级子式等于0定理6 矩阵 的秩为
4、的充要条件是 中有一注 的所有 级子式等于0； 若 则 的不为0的 级子式所在行(列)就是A行(列)向量组的一个极大无关组.则A的任意 个行向量由定理5的推论2，证：设都线性相关，从而A的任意 级子式的行向量也线性相关.A的 级子式全为0.下证A至少有一个 级子式不为0. 设因为所以A有 个行向量线性无关，不妨设A的前 个行向量线性无关， 作矩阵则行列式显然 的行秩为 ， 从而 的列秩也为 ，不妨设在 中前 列线性无关，此即 A 的一个 级非零子式. 若 A 的所有 级子式全为 0，所有级数大于 的子式全为 0.则 A 的设由必要性,不可能有 否则A的 级子式全为0.同样,不可能有否则A有 级子式不为0.
