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1、 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 全排列逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数 逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法2方法1分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数 计算排列逆序数的方法定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素
2、不动，称为一次对换将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 对 换 n阶行列式的定义 n阶行列式的性质）余子式与代数余子式 行列式按行（列）展开）关于代数余子式的重要性质 克拉默法则克拉默法则的理论价值定理定理定理定理 矩阵的定义 方阵 列矩阵 行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵 同型矩阵和相等矩阵 零矩阵 单位矩阵交换律 结合律 矩阵相加运算规律 数乘矩阵 矩阵相乘运算规律n阶方阵的幂 方阵的运算方阵的行列式运算规律转置矩阵 一些特殊的矩阵对称矩
3、阵反对称矩阵幂等矩阵正交矩阵对角矩阵对合矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵伴随矩阵定义 逆矩阵相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似 分块矩阵一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算典 型 例 题 初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换反身性传递性对称性 矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵 初等矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵（）换法变
4、换：对调两行（列），得初等 矩阵 （）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 （）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元例如 行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0例如 行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的
5、标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0例如 矩阵的标准形所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵定义 矩阵的秩定义定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 矩阵秩的性质及定理定理定理 线性方程组有解判别定理齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解10 线性方程组的解法定理11 初等矩阵与初等变换的关 系定理推论一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等
6、变换法典 型 例 题分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量 向量的定义定义向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量负向量向量加法 向量的线性运算数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组定义 线性组合定义 线性表示定理定义定义 线性相关定理定理定义 向量组的秩等价的向量组的秩相等定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩推论推论推论（最大无关组的等价定义）设向量组
7、是向量组 的部分组，若向量组线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组 向量空间定义 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且 集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合 为向量空间定义 子空间定义 基与维数向量方程 齐次线性方程组解向量解向量的性质性质性质定义定理定义向量方程 非齐次线性方程组解向量的性质性质性质解向量 向量方程 的解就是方程组 的解向量（）求齐次线性方程组的基础解系 线性方程组的解法第一步：对系数矩阵 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系（）求非齐次
8、线性方程组的特解将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得即为所求非齐次线性方程组的一个特解一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法 五、解向量的证法典 型 例 题定义 向量内积的定义及运算规 律定义向量的长度具有下列性质： 向量的长度定义 向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基定理定义 正交向量组的性质施密特正交化方法第一步 正交化第二步 单位化定义 正交矩阵与正交变换方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交定义 若
9、 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义 方阵的特征值和特征向量 有关特征值的一些结论定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 有关特征向量的一些结论定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性 相似矩阵 有关相似矩阵的性质若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同(4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量(5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似 实对称矩阵的相似矩阵定义 二次型二次型与它的矩阵是一一对应的定义 二次型的标准形 化二次型为标准形定义 正定二次型 惯性定理注意 正定二次型的判定一、证明所给矩阵为正交矩阵典 型 例 题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值五、求方阵 的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵 可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形
