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1、第五章 时间序列的预报n最小方差估计n平稳线性最小均方误差预报n一类非平稳序列的线性最小均方误差预 报nARMA序列的新息预报第一节 最小方差估计一. 最小方差估计准则n对未知随机变量或未知随机向量进行估 计是时间序列分析中预测理论的重要内 容。n令 表示依据量测Z对X所得的某种 估计，称 为X的估计，它是与X的维数 相同的随机向量，而且是Z的函数.n记估计的误差为 ，称 为估 计的均方误差阵，若存在某种估计，使 得估计的均方误差阵比任何其他的均方 误差阵都小，则称这个估计是最优的。n注：这里所讲的估计的均方误差阵大小 ，是指矩阵的大小。设A,B为同阶对称阵 ，若A-B是非负定阵，则称A不小于
2、B，记 为 ；若A-B是正定阵，则A大于B， 记为AB。二. 条件期望与条件方差n对于两个二阶矩有穷的随机向量，定义 在给定Y=y的条件下，X的条件期望和条 件方差分别记为E(X|y)和Var(X|y)其中p(x|y)是给定Y=y的条件下X的条件 密度函数。n条件期望的性质： (1) E(X|Y)是Y的函数向量并与X的维数相同， E(X|Y)使随机向量 (2) E(X|Y)具有线性性，即对k个相同维数随机 向量 及k个常数 有，(3) EE(X|Y)=EX(4) 设X与Y为相互独立的随机向量，则Ef(X)|Y=f(X)其中f( )为适当的函数向量，仅要求f(x)为随 机向量。(5) Ef(Y)
3、|Y=f(Y)(6)(7) 当X与Y的联合分布为正态分布时，则三. 最小方差估计n寻找最小方差估计就是寻找一个适当的Z的函 数 为随机函数向量，较之其它估 计 相应估计的均方误差阵达最小，即n可以证明： n注：（1） 最小方差估计是无偏估计（2） 最小方差估计的均方误差阵为四. 线性最小方差估计n若估计 为量测随机向量Z的线性函数其中 为n维随机向量，Z为m维随机向量，a为 与 同维数的常值向量，A为非随机矩阵，选择 a,A是估计的均方误差阵达最小的估计称为线性 最小方差估计。nX的线性最小方差估计为n 的性质： (1) 线性最小方差估计具有无偏性 (2) 线性最小方差估计的估计误差为且 与Z
4、正交。n定义1.1 设X与Z分别是二阶矩的n维与m维随机 向量，如果存在一个与X同维数随机向量 ，且 具有下列性质： (1) 可由Z的线性表示，即 ,其中a 和A分别为常值向量和常值矩阵 (2) (3) 与Z正交，即 则称 是X在Z上的投影，记为n注： (1) 线性最小方差估计 是X在Z上的投影(2) X在Z上的投影只能是线性最小方差估计 ， 即投影是唯一的 (3) 当X与Z为联合正态时,X关于Z的条件期望和X 在Z上的投影相等，即第二节 平稳线性最小均方误差预报n预报是根据现在和过去的观察资料，对未来时 刻的取值进行估计。n设 为零均值平稳序列， 为 的 长度为k的样本，根据 对 ( 为正整
5、 数)做出估计 ，取估计的优劣标 准为使估计误差(2.1) 的方差 达最小，则 (1) (2.2) 称 为 步最小均方误差预报。 (2) 如果函数f是 的线性函数,那么 (2.2) 为正交投影，即其中 ，称 为 步线性最小 均方误差预报。n注：(1) 当 为正态序列时，最小均方误差预报 与线性最小均方误差预报是一致的。(2) 当 为非正态序列时，最小均方误差预 报要优于线性最小均方误差预报。例2.1: 设 为相互独立的随机变量, ,令 分别求Y关于X的线性最小均方误差估计和最小均方误差 估计。n线性最小均方误差估计具体的表述：选择 使得达最小。由于因此，令则有，将理论自协方差函数 换成样本自协
6、方差函数 ， 得到，(1.5)于是 步线性最小均方误差预报为存在的问题：1. 样本自协方差函数 由 计算出来，k很 大，故(1.5)的计算量极大2. 部分样本自协方差函数 无法计算。n为克服上述困难,不妨假设已获得的观测资料为所有的 历史资料,即为 ，令表示由k时刻和它之前的所有历史数据对 所作的 步线性最小均方误差预报，即其中 是使 步预报误差 的均方 达到最小，则有1.1 步预报和预报误差方差n设 为ARMA(p,q)序列，其传递形式和逆转形式分 别为且令可知，n则序列 的 步线性最小均方误差预报为：(1.11 ) 步预报误差为：(1.12 ) 步预报误差方差为：(1.13 ) n注： (
7、1) 由(1.11)可得(1.14)(1.14)表明，在k+1时刻的 步预报等于k时刻的 步 预报加上k时刻的一步预报误差得加权修正项。 (2) 由两部分组成，第一部分 为 步预报误差，第二 部分 为 步预报(3) 等式(1.13)表明：在线性最小均方误差预报 意义下， 步预报误差方差仅与预报步数有关 ，而与预报起点k无关，并且步数愈大，预报 误差也就愈大，即预报精度愈差。n对于ARMA(p,q)模型参数 与Green函数 的关 系式：其中当模型建立后， 由模型参数 逐步递推得到，再 由公式(1.12),(1.13),(1.14)计算出 步预报 和 预报误差，误差方差。1.2 ARMA(p,q
8、)序列的平稳线性最小均方误差预报 一. AR(p)序列的预报 模型：n 步预报为n当 时，有n定理1.1 设 为AR(p)序列，则观测到时刻k为 止的各步预报有如下递推公式:(1.16)n注：定理1.1表明，对AR(p)序列，只要知道这p个数据，就可递推求得AR(p) 序列的任意步的平稳线性最小均方误差预报，比 k-p+1时刻更早的历史数据对预报不起作用。n例1.2 试求AR(1)序列的预报和预报误差方差。注:若 为正态噪声，则 的95%的置信区间的置信 上、下限为n例1.3 试求AR(2)序列的预报。步预报为：(1) 递推法：由初值 ,可递推出 任意 步预报 。(2) 差分方程法： 满足二阶
9、差分方程其中推移算子B作用于 ，即n设 为特征方程 的特征根，当k 固定时，由差分方程理论知： (1) 为不同实根，则 步预报为其中 满足则，(2) 当 ，则 步预报为其中 满足则，(3) 当 ，记则 步预报为n例1.4 设某地区年平均降水量 为540毫米，其偏差 序列 为AR(2)序列其中 ，已知近5年的实测降水量(单位：毫米) 为求今后3年各年降水量的预测值。二. MA(q)序列的预报 (1) 逆函数法预报nMA(q)模型：(2.1)n其逆转形式为(2.2)从逆函数出发，给出的预报为逆函数法预报。n定理1.2 设 为MA(q)序列，则观测到时刻k为止 的各步预报为(2.3)其中 由下式递推
10、得到，(2.4 )n注：(1) 公式（2.4）不仅适用于MA(q)序列，也适 用于ARMA(p,q)序列。(2) MA(q)序列和AR(p)序列两者预报有一个根 本区别：对MA(q)序列的预报 依赖于k时 刻和k时刻以前的全部历史数据。n在实际应用中，我们采取有穷和(取求和项适当的大) 代替(2.3)式中的无穷和，从而近似的线性最小均方 误差预报为(2.7)n对于M的选择，可根据 收敛于零的速度适当地 选择，以保证预报的精度。(2). 向量递推预报n引理1.1 设 为ARMA(p,q)序列，则有如下预报递推 公式：(2.8)n定理1.3 设 为MA(q)序列，则线性最小均方误差预 报向量 满足
11、如下递推公式(2.9)其中，n注：递推公式(2.9)中的初值 可由逆函数公式 直接得到，当 很小时，也可取 。n例1.4 求MA(2)序列： 的逆函数法预报。 解：逆函数为：由系数公式，故其逆函数法预报为：当 时， 取M=13,其近似预报为：n例1.5求MA(2)序列： 的向量递推预报。三. ARMA(p,q)序列的预报 (1) 逆函数法预报n预报公式为：(2.10)其中这里，n注：在实际应用中，我们采取有穷和(取求和 项适当的大)代替(2.10)式中的无穷和，从而 近似的线性最小均方误差预报为，(2.11)(2) 向量递推预报nARMA(p,q)模型：(2.12)n其传递形式为：(2.13)
12、n注意到，当 时，(2.14)其中， ,故当 时， 由 (2.14)递推求得。 n定理1.4 设 为ARMA(p,q)序列，则线性最小均方误差 预报向量 满足如下递推公式(2.15)其中， n注：递推公式中的初值 的选取方法与MA(q) 序列选取是一致的。n例1.6 求ARMA(1,2)序列的逆函数法预报和向量递推预报。 解：(1) 模型的逆转形式为：于是，逆函数为：逆函数法预报为选取M=30,于是相应的近似预报为(2) 模型的传递形式为：于是，其Green函数为：故，向量递推预报为：第三节 一类非平稳序列的线性最小均方误差预报一. ARIMA(p,d,q)序列的预报n设 为ARIMA(p,d
13、,q)序列, ，令，则， 可通过 及 表示为(3.1 )当tm=d时，由这里 为ARMA(p, q)序列，我们有如下定理，n定理1.5 设 为ARIMA(p,d,q)序列，则 已知条件下关于 线性最小均方误差预报为,其中，n注：定理1.5表明：通过ARMA(p,q)序列 的线性 最小均方误差预报，可给出原序列 的预报。n例1.7 求 为ARIMA(1,1,0)序列的预报。 解： 的模型为：令 ，于是 为AR(1)序列，则二. 季节性乘积模型的预报n设 为 模型,即：令 ，则令 这里， 为ARMA(p,q)序列，而 为ARIMA(p,d,q)序 列。序列，则由 的线性最小均方误差预报，得到 的 预报为，其中又因为，于是，原序列 的 步预报公式为，或n例3.1 设 为 序列：求 的 步预报。三. 非平稳序列的叠合模型的预报n具有确定性的趋势分量和周期分量的非平稳序列为(3.2)其中 为趋势分量， 为周期分量， 为平稳ARMA(p,q) 序列。n将(3.2)式中的三部分各自进行 步预报，之和作为 的 步预报，即，n具体地， (1) 仅含线性趋势： ，则(2) 仅含多项式趋势： ,则(3) 仅含指数趋势
