《高等数学方明亮7.5 隐函数的求导公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学方明亮7.5 隐函数的求导公式（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回上页页下页页目录录第五节 隐函数的求导公 式第七章 (Derivation of Implicit Function)一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结与思考练习Date1返回上页页下页页目录录本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .Date2返回上页页下页页目录录一、一个方程的情形定理1 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域
2、内满足满足条件 导数Date3返回上页页下页页目录录两边对 x 求导在的某邻域内则Date4返回上页页下页页目录录在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数并求例1 验证方程（补充题）解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且Date5返回上页页下页页目录录Date6返回上页页下页页目录录两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时 利用隐函数求导（自行练习课本 例1）导数的另一求法Date7返回上页页下页页目录录若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定
3、理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确定理2Date8返回上页页下页页目录录两边对 x 求偏导同样可得则Date9返回上页页下页页目录录解法1 利用隐函数求导再对 x 求导例2 设（补充题）Date10返回上页页下页页目录录设则两边对 x 求偏导（自行练习课本 例2）解法2 利用公式Date11返回上页页下页页目录录二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即Date12返回上页页下页页目录录的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的
4、单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理3Date13返回上页页下页页目录录定理证明略. 仅推导偏导 数公式如下 ：Date14返回上页页下页页目录录有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组二元线性代 数方程组解 的公式在点P 的某邻域内故得系数行列式Date15返回上页页下页页目录录同样可得Date16返回上页页下页页目录录分析：此题可以直接用课本中的公式（6）求解， 但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.Date17返回上页页下页页目录录Date18返回上页页下页页目录录解：Date19返回上页页下页页目录录内容小结1.
5、隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 代公式课后练习习题75 1、3、5、7、10、11（1）（3） 思考练习1. 设求Date20返回上页页下页页目录录 解法1:Date21返回上页页下页页目录录由d y, d z 的系数即可得解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.Date22返回上页页下页页目录录分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,2. 设解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研)解得因此Date23返回上页页下页页目录录是由方程和所确定的函数 , 求解法1 分别在各方程两端对 x
6、 求导, 得(99考研)3. 设Date24返回上页页下页页目录录对各方程两边分别求微分:化简得消去可得解法2 微分法.Date25返回上页页下页页目录录雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.Date26返回上页页下页页目录录二元线性代数方程组解的公式解:Date27
