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1、机械转子式陀螺仪的概述 陀螺的基本部件陀螺转子(Rotator)内、外框架(Gimbal)（支承部件）附件（电机、力矩器、传感器等） 陀螺的分类（机械转子式） 二自由度(Two-Degree-of-Freedom)单自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率 、积分）二自由度陀螺仪进动性：演示 进动性(Proceeding)转子没有旋转时 ，给陀螺悬挂重 物 录像：转子高速旋转的陀螺悬挂重物 进动的规律录像：沿着陀螺仪外框架轴施加力矩 进动性：陀螺仪受到外力矩时 ，转子自转轴的转动方向与外力 矩方向相垂直的现象 进动、进动角速度 用动量矩定理解释进动：近似推导 动量矩定理
2、 H 的近似表示： 动量矩定理 + 苛氏定律 此即二自由度陀螺仪的进动方程 进动角速度的方向和大小 进动角速度的方向：最短路径法则 （H 沿最短路径趋向 M） 进动角速度的大小：根据 M = H，写成标量形式： M = Hsin因此 = M /（Hsin）进动角速度大小与外力矩的大小成正比，与转子的动量矩的大小 成反比。陀螺动力效应：陀螺力矩外加力矩 陀螺力矩(Gyro Torque) ：反作用力矩 陀螺力矩的方向判断陀螺力矩的作用对象 陀螺动力（稳定）效应，对外框架有效陀螺动力（稳定）效应，对内框架无效定轴性：不通电时转动基座录像(61s)：陀螺不通电时，转动基座定轴性：通电后转动基座录像(
3、35s)：通电后，转动基座定轴性：不通电时敲打框架录像(26s) ：不通电时，敲打框架 定轴性：通电后敲打框架录像(35s) ：通电后，敲打框架定轴性总结；漂移、章动 二自由度陀螺仪的定轴性二自由度陀螺仪具有抵抗干 扰力矩，力图保持其自转轴 相对惯性空间方位不变的特 性（定轴性、或稳定性）。 定轴性的相对性(一)：陀螺漂移 d = Md / H 定轴性的相对性(二)：章动 (Nutation)现象陀螺受冲击力矩时，自转轴将在原来的空 间方位附近作锥形振荡运动 章动录像录像（20s）：二自由度陀螺的章动(nutation)现象二自由度陀螺 运动方程：初步分析从定性到定量：引入坐标系 外、内框架和
4、转子坐标系 任务：描述当沿着内外框架轴施 加力矩时，陀螺框架角、的变 化规律 方法：动量矩定理 + 苛氏定律 二自由度陀螺 运动方程：矢量表示 转子的绝对角速度：分解表示内框架坐标系的牵连角速度： 转子相对内框架的角速度：转子的绝对角速度： 转子的动量矩： 二自由度陀螺 运动方程：推导 根据动量矩定理和苛氏定律 其中 二自由度陀螺 运动方程：合并简化 对每个坐标分量，分别写出方程 以上称变态欧拉动力学方程 实际的陀螺中，一般赤道转动 惯量 Jx = Jy，由第三式可得 陀螺稳态工作时， Mz = 0，因此 对前两式，忽略 角速度高阶小量， 得到简化方程 关于框架角速度和 外加力矩的方向 二自由
5、度陀螺 运动方程：角速度投影两种角速度的关系 内框架坐标系 x y z 的等 于两个欧拉角速度的矢量和 根据投影 代入简化方程，得到 求导式展开，忽略高阶 小量，得到 二自由度陀螺 运动方程：力矩投影 力矩的变换 代入上式，得到 实际角很小，上式简化成 上式称为陀螺仪的技术方程。 技术方程的物理意义（惯性力 矩和进动力矩） 二自由度陀螺 系统模型：拉氏变换二自由度陀螺仪的技术方程 拉氏变换 整理 当初始条件都为零，得到 二自由度陀螺 系统模型：系统方块图 拉氏变换方程 改写方程，画出系统方块图 每个力矩都同时引起陀 螺仪的两种运动，陀螺 力矩起耦合作用二自由度陀螺 系统模型：传递函数 由拉氏变
6、换方程求解两个框架角、 ，得到 由此可以得到从 Mx1、My 分别到和的四个传递函数 改写分母项固有振荡频率二自由度陀螺 脉冲响应：输入输出 冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对时 间的积分是一个有限值 代入系统的拉氏变换模型： 求解(s) 和(s)，得到 其中二自由度陀螺 脉冲响应：响应轨迹假设 Jx = Jy = Je，并令02 = H2 / (JxJy)，部分分式展开，反拉氏变换得 ： 可见，力矩 Mx1 引起转子轴 同时绕内外两个框架作等幅振 荡，相位相差90度。 消去时间变量，得轨迹方程 轨迹圆，半径圆心频率 二自由度陀螺 脉冲响应：计算例子例子：设 Jx = Jy
7、= Je = 1.38 克厘米 秒2，H = 5160 克厘米秒，Mx1 = 36200 克厘米 10-5 秒（注：克 = 克重，相当于每克物体的重量） 章动的幅度（半径）角分章动的特点：高频、微幅 二自由度陀螺 阶跃响应：输入输出如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示： 陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为： 设 Jx = Jy = Je，并令02 =H / (JxJy)反拉氏变换，得时域响应： 二自由度陀螺 阶跃响应：时域响应动态响应：章动稳态响应：进动和等效弹簧效应二自由度陀螺 阶跃响应：轨迹对前式移项后两边平方相加，得到转子轴的轨迹方程 旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动
8、（进动）的合成。解释：圆周运动线速度 ： 圆心移动速度 ： 两种运动合成的结果：车轮无摩擦滚动旋轮线其中进动起主导作用 二自由度陀螺 阶跃响应：计算例子 例题：My = 1 克厘米； H = 10000 克厘米秒； Jx = Jy = Je = 4 克厘米秒2；常值干扰力矩作用时间 t = 60秒 。 陀螺漂移率 漂移的角度 章动振幅 章动频率 常值干扰力矩的产生原因及影响 二自由度陀螺 正弦响应：输入输出如果外加力矩方向不断改变，大致可以用简谐函数描述 初始条件都为零时，陀螺频域输出响应为： 令 02 = H2 / (JxJy) ，并部分分式展开及反拉氏变换，得二自由度陀螺 正弦响应：时域响
9、应章动项 强迫简谐振动项 常值项 设ao ，Jx = Jy = Je，则上述响应式可以简化成： 二自由度陀螺 正弦响应：轨迹 可见 Mx1 使转子轴同时绕内外 框架轴做受迫振荡。 消去时间变量，得到轨迹方程 椭圆：长、短半轴的判断 不同类型的干扰力矩对陀螺 仪精度影响程度的比较：常值 正弦 冲击 二自由度陀螺对外加力矩响应的总结外 加 力 矩二 自 由 度 陀 螺 仪动态响应（双轴）章动静态响应（同轴）等效 弹簧静态响应（正交轴）进动单自由度陀螺仪基本特性单自由度陀螺 结构：只有一个框架 特点：转子轴仅一自由度 和二自由度陀螺的定轴性比较 转子轴沿着 x 方向向对基座缺 少转动自由度。 当基座
10、沿着 x 方向旋转时：转子轴被迫一起绕 x 旋转转子轴仍尽力保持在原方位转子和基座之间存在相互作用基座对转子沿 x 轴施加力矩转子轴将绕内框架轴 y 旋转 结论：单自由度陀螺能敏感基 座在其缺少转动自由度的方向（ 敏感轴 x 方向）上的转动 单自由度陀螺 运动方程：坐标系 运动分析：转子绕 z 轴旋转；当载体以 xb旋转，强迫内框架一同旋 转，内框架同时绕 y 轴旋转 。 坐标系选取：固定坐标系 X Y Z载体坐标系 xb yb zb （ 输入轴）内框架坐标系 x y z转子坐标系 x y z 运动方程：xb，需用 到：动量矩定理苛氏转动坐标定理 单自由度陀螺 运动方程：矢量表示1 取内框架坐
11、标系为动作标系 内框架相对载体的转动 载体相对惯性空间的转动 动作标系相对惯性空间的转动 转子相对惯性空间的转动 单自由度陀螺 运动方程：矢量表示2 转子的动量矩 实际中非常小，H 可简化成 根据动量矩定理 单自由度陀螺 运动方程：推导化简 考虑到非常小， 转子轴的运动只用描述就 足够，故只取 y 轴分量 或 忽略 MB 与 Mf ，简化得：单自由度陀螺 运动方程：典型二阶系统典型的二阶系统，可以改写成 等效阻尼比 自由振荡频率 单自由度陀螺 传递函数：速率陀螺运动方程 拉氏变换（零初始条件 ） 传递函数 单轴陀螺的分类（根据 c, k 的不同） 1、当c0，k0，借 助和n，得到 传递函数 稳态时 称速率陀螺仪 单自由度陀螺 传递函数：积分陀螺2、当c0，k=0, 得到 整理得 令=Jy / c，得到 传递函数 传递函数：积分+惯性环节稳态响应：正比于输入的积分惯性环节：的大小选取 单自由度速率陀螺 阶跃响应：求解1、速率陀螺的阶跃响应 传递函数 其中 系统输入 系统输出 反拉氏变换： 单自由度速率陀螺 阶跃响应：曲线稳定条件： 0， 一般取 0.5 0.8 。 稳态转角输出 以 为稳定位置的衰减振荡，其中 单自由度积分陀螺 阶跃响应2、积分陀螺的阶跃响应 传递函数 输出函数 如果=Jy / c = 0，则 或写成
