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1、1-2 概率、古典概型 一、频率的定义 二、概率的统计定义 三、概率的公理化定义 四、概率的性质 五、古典概型 六、几何概型一. 频率频率(Frequency)频率定义频率的特性历史上曾有人做过掷硬币的实验，请看下表:试验试验 者试验试验 次 数出现现正面次数 频频率德摩根204810610.5181 浦丰404020480.5069 K皮尔 逊逊1200060190.5016K皮尔 逊逊24000120120.5005维维尼30000149940.4996() 随机波动性； () 稳定性二概率的统计定义二概率的统计定义定义：在相同条件下进行大量重复试验，当试验次数充分大时，事件A的频率将在某
2、个常数p附近摆动,这个常数p称为事件A的概率,记为P(A),即P(A)=p.概率（probability）由上表可知, 随着试验次数的增加, 正面出现的 频率越来越集中在数值0.5附近，我们把频率稳定 性的数值称为事件的概率.1频率的性质三概率的公理化定义2概率的公理化定义定义：设是随机试验E的样本空间，若对中每一个随机事件A都对应一个实数P(A)，使满足：( 1 ) 对每一个事件A，有P(A)1;（非负性）( 2 ) P()=1, P()=0 ;（规范性）则称P(A)为事件A的概率。四. 概率的性质 (1) 加法公式:若A与B为互斥事件，则有：P(AB)=P(A)+P(B ) (2)求逆公式
3、: 设A、 互为对立事件，则有： (3)减法公式: 若AB,则 P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B) (4)广义加法公式:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)概率性质说明:B SA利用概率性质解答下列问题例1：设P(A)=1/3, P(B)=1/2, 求下列情况下(1) A与B互斥(3) P(AB)=1/8解答:（1 ）ABBA练习1：已知AB=；且P(A)=0.2; 求：解答：P(B)=0.5 .SAB练习2：已知P(A)=0.6,P(AB)=0.1且练习3：为了学习古典概型，我们先简要复习一下所用 到的基本计数原理一. 加法原理设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法，
4、 第二种方式有n2种方法, ； 第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以 完成这件事，则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm种方法 .例如，某人要从甲地到乙去 ,可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法回答是则完成这件事共有种不同的方法 .二. 乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法, ； 第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心 ，问他可以有多少种打扮？可以有 种打扮当k = n时,称为全排列.三、排列、组合的几个简单公
5、式1.不重复排列的计算排列(permutation, arrangement), 组合(combination)从n个不同元素中取 k（1 k n)个的不同排列数为：例2、用三面不同颜色的旗子共能打出多少种不同的信号。例1: 用0,1,2,9共10个符号可以组组成多少个不同的四位数。2.重复排列的计算从n个不同元素中任取 k个（允许重复）（1k n)的不同排列数为：例如：从装有4张卡片的 盒子中有放回地摸取3张, 不同的取法共有4.4.4=43种.3241n=4,k =3例1、把n个小球放入N个盒子中的不同放法有 多少种(nN) ？每个盒子中至多有一个球的 放法有多少种？（假定盒子的容量不限）
6、。3.循环排列的计算从n个不同元素中任取 r个（1r n)的循环排列数为：说明：将r个不同的元素排在一条封闭的曲线上，若 将他们依次（比如按顺时针方向）移动1个位置，2 个位置，r-1个位置，则同没有移动时完全一样 。也就是说，循环排列只关心元素间的次序，而不 关心具体的位置。可见在直线上有r种排列，而在封 闭曲线上只有一种排列。推论：n个元素全取的循环排列数为：例2、若改为一列，男女相间的不同坐法为多少 ？例1、男女同学各四人围坐一张圆桌，约定男 女相间，不同的坐法为为多少？例3、若改为一列，且只要求女同学不相间的 坐法有多少种？3.组合(1)不同元素组合数的计算从n个不同元素中取 k个（1
7、kn)的不 同组合数为：例1:在15个同样大小的球中，有10个红的5个白 的，从中任取3个的取法有多少？若要求3个球 中有2个红的1个白的取法为多少？(2)分组组合的计算(3)定理: 把n个不同的元素分成k组,使各组分 别(4) 组合数为：例1:一副52张的扑克牌,平均分给4人,每人13 张,问有多少种不同的分法? 例2: n双相异的鞋子共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只，共有多少种不同的分法？若各堆自成 一双共有多少种不同的分法？5. 二项式展开式说明: 把每双鞋各自绑在一起看成一个物 件，再把这n个相异的物件随机地分成n堆 ，每堆1件，则由上面的定理可得上述结 论。4. 二项式展开式五、
8、古典概型1样本空间中只包含有限个样本点，即 =e1,e2,e2,en 2每个样本点ei(i=1,2,3,n)出现的机会 相等定义：把具有下述两个特点的随机试验称为古典概型古典概型下的概率计算公式:1、不放回抽样问题 例1：一批产品共100 件，其中5 件次品，现从中任取15件，求（1）恰好取到2件次品的概率； （2）至多取到1件次品的概率。解：（1）令A=恰好取到2件次品，则（2）令B=至多取到1件次品，则2、有放回抽样问题例2：设袋中有10个球，其中4个红球，6 个白球，从中有放回任取3 个（每次取一个，观察颜色后放回，再取另一个）。（1）求取到3个白球的概率；（2）求取到“红白红”球的概率
9、；（3）求取到“2红1白”球的概率；解: (1) A= 取到3个白球 ; P(A)=63/103(2)A=取到“红白红”球;（3）求取到“2红1白”球的概率；3、分房问题例3：设有n个人，每个人都被等可能地分配到N(nN)个房间中去住 ，求下列事件的概率。（1）指定的n个房间，其中各住一人；（2）恰有n个房间，其中各住一人；(3) 某指定的一个房间中恰有m个人住。解：（1） A=“指定的n个房间各有一个人住”（2）A=“恰好有n个房间，其中各有一人住”4、生日问题例4：某班有50个同学，问至少有两个人的生日 在同一天的概率。（假定一年按365天计算）解：设A=“至少有两个人的生日在同一天”;=
10、“50个人的生日各不相同”思考：生日问题某公司有500个人，问至少有一人在10月1 日出生的概率。（假定一年按365天计算）解：设A=“500人中至少有一人在10月1日出生”=“500人中没有一人在10月1日出生”5、抽签问题例5：设10 张票中有3 张甲票，10 个同学依 次从中任取一张，求第k(1k 10）个同学 抽到甲票的概率。 解：A=“第k个同学抽到甲票” 1k 106、估计问题例6：池塘养鱼，为了估计鱼的数量 ，先从池中捞出 m条，做上记号放回去，过一段时间，待池塘中的鱼 游匀后，再从池中捞出n条，设这n条中作过记号的有 k条，试估计池中鱼的数量。解：设池中有鱼N条，做过记号的鱼占
11、总数的比 例为m/N；待鱼游匀后，又捞出的n条鱼中，做过 记号的鱼的比例为k/m，若第二次捞出的鱼的数量 n很大，则比例k/n与比例m/N近似相等，即思考：从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只 鞋子中至少有2只能配成一双的概率。解：A=4只鞋子中至少有2只能配成一双=4只鞋子全不成双帕斯卡认为，若不是因故停止赌局而进行 下一次的决赛，将会有两种可能情况：第一人 赢，并获得64枚全部赌金；或第二人赢，按2 ：2各分得32枚金币。现在在停局的情况下，第一个人可以这样 说：我一定能得32枚金币，即使我下一轮输了 ，也应将32枚归我。至于另外的32枚，也许你 得也许我得，机会是均等的，所以，在给我32
12、 枚金币之后，再让我们均分另外的32枚吧。 这样，第一人得48枚，第二人得16枚。公平分配赌金问题的解答:费马的解法:由于第一人已得2分，第二人已得1分，离赌博结束最多还要赌2局，其结果有四种可能的情况：I（甲、甲）， II（甲、乙），III（乙、甲），IV（乙、乙），（其中，甲表示第一人获胜，乙表示第二人获胜。）在上述所有四种可能的结果中，除最后一种情况第二人获胜外，其余情况都是第一人获 胜。因此公平的分配是第一人分得赌金的3/4.六、几何概率定义4 设为一有限区域，其测度为m()(线段的测度为长度,平面区域为面积,空间区域为体积)，G为 中任一区域，其测度为m(G) 。若以A表示“在区域
13、中随机地取一点，而该点落在区域G中”这一事件，我们称为事件A发生的几何概率。 G测度（measure）例1(P16例10）（会面问题）两人相约7点至8点 在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离去，试求两人能会面的概率。解：设两人到达的时刻分别为x , y，则两人能会面的充要条件为：G这是一个几何概型问题，所有可能的结果是边长 为60的正方形内的点，能会面的点落在图中阴影 里，于是所求概率为：O 20 60 x2060y例2：某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2人小时。设甲、乙两船在24小时内的任一时刻随时可能到达，求他们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。解：设甲、乙两船到达的时刻分别为x , y，则两船都不需要等待码头空出的充要条件为：G练习：从（0,1）中随机地取两个数，试求下列事件的概率。（1）两数之和不大于1的概率；（2）两数之积不小于3/16的概率;（3）以上两条同时满足的概率；G解：设x, y分别为取自（0,1）中的两个数，则G1-2 概率、古典概型小结一、频率的定义二、概率的统计定义三、概率的公理化定义四、概率的性质五、古典概型六、几何概型
