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1、- 1 -辽宁省六校协作体辽宁省六校协作体 2017-20182017-2018 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题 理理本试卷共 23 题,时间:120 分钟,共 150 分,共 4 页一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知命题:,sin1pxRx ,则命题p的否定是( ) A,sin1xRx B,sin1xRx C,sin1xRx D,sin1xRx 2已知, a b都是实数, “22ab”是“ab”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.
2、“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于( ) A演绎推理 B类比推理C合情推理D归纳推理4. 已知复数2)1 (2 12 iiz,z是z的共轭复数,则z的虚部等于( ) A2 Bi 2C2Di 2525 32()xx展开式中的常数项是 ( ) A80 B40C80D406若e是自然对数的底数,则322dxex( ) Ae11 B11eCe1 D1e7已知实数, , ,a b c d满足1abcd,1acbd,用反证法证明:, , ,a b c d中至少有一个小于 0下列假设正确的是 ( ) A假设, , ,a b c d至多有一个小于 0B假设, , ,a b c d中至多有
3、两个大于 0C假设, , ,a b c d都大于 0D假设, , ,a b c d都是非负数8.函数32yxbxx有极值点,则b的取值范围为( ) A3, 3B(,3 3,) - 2 -C(,3)( 3,) D(3, 3)9学校艺术节对同一类的, , ,a b c d四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“是c或d作品获得一等奖” ;乙说:“b作品获得一等奖” ;丙说:“, a d两项作品未获得一等奖” ;丁说:“是c作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( ) Aa Bb Cc Dd10已知正四棱
4、柱1111ABCDABC D中,12AAABE,为1AA的中点,则异面直线BE与1CD所成角的余弦值为( ) A1010B51C53D1010311张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸 ,另外两个小孩要排在一起,则这 6 个人的入园顺序的排法种数是( ) A12 B24 C36 D4812过双曲线)0, 0( 12222 baby ax的左焦点)0 ,( cF 作圆222ayx的切线,切点为E,延长FE交抛物线cxy42于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为 ( ) A5 B25C215 D15 二、填空题:本题共 4 小题,
5、每小题 5 分,共 20 分。13.抛物线xy82的焦点到双曲线12222 yx的渐近线的距离为 - 3 -14.设直线bxy21是曲线)0(lnxxy的一条切线,则实数b的值是 15三角形面积()()()Sp papbpc(, ,a b c为三边长,)(21cbap),又三角形可以看作是四边形的极端情形(即四边形的一边长退化为零)受其启发,请你写出圆内接四边形的面积公式:_16若8 82 2107)21)(1xaxaxaaxx(,则721aaa的值为_ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考
6、题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17 (12 分)p:对任意实数x都有012 axax恒成立;q:关于x的方程02axx有实数根;如果pq为真,pq为假,求实数a的取值范围18 (12 分)是否存在常数, a b使得等式22212(21)()nnnanb对一切正整数n都成立?若存在,求出, a b值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.19 (12 分)四棱锥ABCDS ,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD.已知135DAB,22BC,2ABSCSB,F为线段SB的中点.(1)求证:/SD平面CFA;(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦
7、值.20 (12 分)已知圆M:2220xyx,圆N:22280xyx,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;(2)若AB、是曲线C上关于x轴对称的两点,点(3,0)D,直线DB交曲线CFSDBCA- 4 -于另一点E,求证:直线AE过定点,并求该定点的坐标21 (12 分)函数 21( )ln 1222f xxmxmxm,其中 0m (1)试讨论函数 ( )f x 的单调性;(2)已知当 2em (其中 2.71828e 是自然对数的底数)时,在 11,22ex 上至少存在一点 0x,使 0()1f xe 成立,求 m 的取值范围;(3)求证:当 1m 时,
8、对任意 12,0, 1xx ,12xx,有 2121()()1 3f xf x xx(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修 4-4:坐标系与参数方程 (10 分)在极坐标系中,点M坐标是)2, 3(,曲线C的方程为)4sin(22;以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1的直线l经过点M(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求证直线l和曲线C相交于两点A、B,并求|MBMA 的值23选修 4-5:不等式选讲 (10 分)设关于x的不等式|4|3|xxa(1)若5a ,求此不等式解集
9、;(2)若此不等式解集不是空集,求实数a的取值范围- 5 -参考答案DDACB ADCBD BC13. 2 14. ln21 15. ()()()()Spapbpcpd(其中, , ,a b c d为各边长,p为四边形半周长)16. 12517. 解:对任意实数x都有012 axax恒成立 000aa或:04pa (2 分)关于x的方程02axx有实数根11 40:4aq a (4 分)pq为真,pq为假,p真q假或者p假q真.若p真q假,则04 1 4aa,14.4a(7 分)若p假q真,则04 1 4aaa或,0.a(10 分)综上所述,a的取值范围是144a或0a (12 分)18. 解
10、:分别取1,2n 得13() 510(2)ab ab ,解得1 6 1 6ab .(2 分)猜想222(21)(1)126nnnn对一切正整数n都成立. (4 分)下面用数学归纳法证明:(1)当n=1 时,由上面的探求可知等式成立 (5 分)(2)假设n=k时等式成立,即222(21)(1)126kkkk (7 分)当n=k1 时,22222(21)(1)12(1)(1)6kkkkkk(1) (21)6(1) 6kkkk- 6 -2(1)(276) 6kkk(1)(23)(2) 6kkk, (10 分)所以当n=k1 时,等式也成立 (11 分)由(1) (2)知猜想成立,即存在1 6a ,1
11、 6b 使命题成立(12 分) 19. 解:(1) 连结BD交AC于点E,连结EF 由于底面ABCD为平行四边形 E为BD的中点. -(2 分)在BSD中,F为SB的中点 SDEF / -(3 分)又因为EF面CFA,SD面CFA, /SD平面CFA. (5 分)(2)以BC的中点O为坐标原点,分别以OSOCOA,为zyx,轴,建立如图所示的坐标系.则有)0 , 0 ,2(A,)0 ,2, 0( B,)2, 0 , 0(S,)0 ,2, 0(C)2, 0 ,2(SA,)2,2, 0(SB,)2,2, 0( CS,)0 ,2,2( BACD-(7 分)设平面SAB的一个法向量为),(1zyxn
12、- 7 -由 0011SBnSAn得220220xzyz,令1z 得:1, 1yx ) 1 , 1, 1 (1n -(9 分)同理设平面SCD的一个法向量为),(2cban 由 0022CSnCDn得 022022cbba,令1b 得:1, 1ca ) 1 , 1 , 1(2n -(10 分)设面SCD与面SAB所成二面角为| |,cos|cos2121 21nnnnnn=31-(12 分)20. 解:(1)圆M的圆心为( 1,0)M ,半径11r ,圆N的圆心为(1,0)N,半径23r , (2 分)设动圆P半径为R,圆P与圆M外切且与圆N内切,|1PMR,| 3PNR,| 4PMPN,(4
13、 分)曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为 2 的椭圆(左顶点除外),其方程为22 1(2)43xyx ;(6 分)(2)设11( ,)A x y,22(,)E xy,则11( ,)B xy,由题意知直线AE斜率存在,设直线AE:ykxm,代入22 143xy,得到222(43)84120kxkmxm,222(8)4(43) (412)0kmkm ,整理得2243mk, (8 分)1228 43kmxxk ,2122412 43mx xk,DBE、共线,PBPDkk,即1212() 33kxmkxm xx,整理得12122(3 )()60kx xmkxxm,- 8 -22241282(3 )()604343mkmkmkmkk,整理得4 3mk ,满足判别式直线AE方程是4()3yk x,过定点4( ,0)3(12 分)21. 解:(1)易知( )f x的定义域为1,2x 212 ()2(21)2( )121212x xmmxmxfxxmxxx