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1、第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物 质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方 程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的 牛顿运动定律的价 值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量 子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小 于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响 ，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了 现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理
2、论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克 共获诺贝尔物理奖金。(18871961)不是由基本原理、定律等严密推导而得，是与波动现象类 比而建立起来的，它正确与否，只能由实验来验证。薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量 子力学的重 要奠基人之一，同时在固体的 比热 、统计热力学原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大成就。Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写 ；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定 谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立了势场 中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体
3、系，当 时被称作波动力学，现在统称量子力学。一、波函数 概率密度沿 x 方向传播的平面波的波动方程：11-7 薛定谔方程Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽其指数形式：一个自由粒子有动能 Eh 和动量 P=h/其波函数：对三维粒子有：Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽说明：、 是一个复指数函数，本身无物理意义3、 代表 t时刻，在 （x,y,z） 处体积元 d 内粒子出现的几率。2、波函数模的平方 代表时刻t 在 r 处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在空间（x,y,z）点的单位体积内的几率。这也正是1926年波恩对波函数的
4、统计解释：对应于自由粒子在空间的一个状态，就有一个由伴随该状态的德布罗意波所确定的几率。 Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽4、波函数的标准化条件单值：t 时刻在（x,y,z）处出现的几率唯一； 有限： t 时刻在（x,y,z）处出现的几率有限V0情况在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到xa区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）EV0情况在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以
5、我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽隧道效应和扫描隧道显微镜STM1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限 于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作 为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的 表面电子云就可能重叠。
6、Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过 电极间的势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就 能反映样品表面的起伏。因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；空气隙STM工作示意图样品探针利用STM可以分辨表面上原子 的台阶、平台和原子阵列。可以 直接绘出表面的三维图象 Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质 表面
7、上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。 在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大 的意义和广阔的应用前景。利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫 描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。STM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工 作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一 种技术都有其局限性。下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe 原子到Cu表面上构成的量子围栏。1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画” 艺术。这是他们
8、利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面 上、分子间距约0.5纳米的“分子人”。这个“分子人”从头 到脚只有5纳米，堪称世界上最小的人形图案。Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽1994年初，中国科学院真空物理实 验室的研究人员成功地利用一种新 的表面原子操纵方法，通过STM在 硅单晶表面上直接提走硅原子，形 成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的 线条。从STM获得的照片上可以清 晰地看到由这些线条形成的“100”字 样和硅原子晶格整齐排列的背景。用扫描隧道显微镜观察 到砷化镓表面砷原子的 排列图如下Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海
9、丽用扫描隧道显微镜观察到硅表面77重构图 硅表面硅原子排列Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽例1、已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ， n = 1, 2, 3, 试计算n = 1时，在 x1 = a/4 x2 = 3a/4 区间找到粒子的 概率 Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽解：找到粒子的概率为 0.818Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽例2、一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间， 如图所示描写粒子状态的波函数为 ，其中c 为待定常量求在0 区间发现该粒子的
10、概率 Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽解：由波函数的性质得 即 ， 由此解得 ， 设在0 - l/3区间内发现该粒子的概率为P，则 Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽填空题：设描述微观粒子运动的波函数为 ，则表示 ；须满足的条件是 ；其归一条件为 。Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽计算题1.已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为 (0 x a)求发现粒子的概率为最大的位置 Date第十一章 量子物理学基础 波函数 薛定谔方程 理学院 姜海丽2.一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间， 如图所示描写粒子状态的波函数为 ，其 中c为待定常量求在0l/3 区间发现该粒子的概率 Date
