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1、 线性规划的图解法 1 问题的提出 2 图解法1线性规划的图解法一些典型的线性规划应用 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最 大 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小线性规划的组成：目标函数 Max F 或 Min F约束条件 s.t. (subject to) 满足于决策变量 用符号来表示可控制的因素21 问题的提出例1. 某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，已知生产单位产 品所需
2、的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？线性规划模型：目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 3002 x1 + x2 400x2 250x1 , x2 03 建模过程1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；2.定义决策变量（ x1 ，x2 ， ，xn ）每一组值表示一个方案 ；3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件 一般形式目标函数： Max （Min） z = c1
3、x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bmx1 ，x2 ， ，xn 0 4例1.目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 300 (A)2 x1 + x2 400 (B)x2 250 (C)x1 0 (D)x2 0 (E)得到最优解：x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 275002 图 解 法对
4、于只有两个决 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。下面通过例1详细 讲解其方法：5(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。x2x1X20X2=0x2x1X10X1=06（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所决定的半平面。100200300100200300x1+x2300x1+x2=3001001002002x1+x24002x1+x2=4003002003004007（3）把五个图合并
5、成一个图，取各约束条件的公共部分，如 图2-1所示。100100x2250x2=250200300200300x1x2x2=0x1=0x2=250x1+x2=3002x1+x2=400图2-18（4）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到一条直 线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等 值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实 现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个 约束条件则其可行域的顶点也是有限的。x1x2z=20000=50x1+100x2图2-2z=27500=50x1+100x2z=0=50x1+100x2z=10000=5
6、0x1+100x2CBAD E9 线性规划的标准化内容之一：引入松驰变量（含义是 资源的剩余量）例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 3002 x1 + x2 + s2 = 400x2 + s3 = 250x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0说明：生产50单位产品和250单位产品将消耗完所有可能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。1
7、0 重要结论： 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域 的顶点对应一个最优解； 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解； 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件； 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x21200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了 。11进 一 步 讨 论例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125吨
8、。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成本最低？12解：目标函数： Min f = 2x1 + 3 x2约束条件： s.t. x1 + x2 350x1 1252 x1 + x2 600x1 , x2 0采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。100200300 400 500 600100200300400600500x1 =
9、125x1+x2 =3502x1+3x2 =8002x1+3x2 =9002x1+x2 =6002x1+3x2 =1200x1 x2 Q13线性规划的标准化 一般形式目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bmx1 ，x2 ， ，xn 0 标准形式目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn
10、 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bmx1 ，x2 ， ，xn 0，bi 014可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变换，将其转化为标准形式:151.极小化目标函数的问题：设目标函数为Min f = c1x1 + c2x2 + + cnxn (可以)令 z -f ，则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
11、即 Max z = - c1x1 - c2x2 - - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们最优解的目标函数值却相差一个符号，即Min f - Max z162、约束条件不是等式的问题：设约束条件为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左边之差s=bi(ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn )显然，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn+s = bi17当约束条件为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi 时，类似地令s=(ai1 x1+
12、ai2 x2+ +ain xn)- bi 显然，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn-s = bi18为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s,当不等式为“小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。3.右端项有负值的问题：在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非 负。当某一个右端项系数为负时，如 bi0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2- -ain xn = -bi。19例：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 2 x1 -3x2 + 4 x3s.t. 3 x1 + 4x2 - 5 x3 62 x1 + x3 8x1 + x2 + x3 = -9x1 , x2 , x3 0 解：首先,将目标函数转换成极大化：令 z= -f = -2x1+3x2-4x3 其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量x4，x5 0。第三个约束条件的右端值为负，在等式两边同时乘-1。20
