第二章流体静力学流体力学

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1、第二章 流体静力学第一节、静止流体中应力的特性第二节、流体平衡微分方程第三节、重力场中流体静压强的分布规律第四节、流体的相对平衡第五节、液体作用在平面上的总压力第六节、液体作用在曲面上的总压力第七节、潜体和浮体的平衡与稳定 本章学习要点：作用在流体上的力、静止流体 中应力的特性、 流体平衡微分方程、等压面、 静止液体和相对静止液体压强的分布、压强的 表示方法、液体作用在平面及曲面壁上的静水 总压力、压力中心。 第一节、 静止流体中应力的特性 一、基本概念（一）静压力 静止流体对受压面所作用的全部压力。（二）静压强 受压面单位面积上所受的静压力。静止流体表面应力只能是压强（压应力），流体不能 承

2、受拉力，且具有易流动性。 二、静止流体中应力的特性（一）压强的基本特性:静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向 沿着受压面的内法线方向。为了论证这一特性，在静止流体中任取截面NN将 其分为、两部分，取为隔离体，对的作用由 NN外面上连续分布的应力代替(图21)。（二）静压强的特性静压强的大小与作用面的方位无关，即在仅受重力 作用的静水中，任意一点处各个方向的静压强均相等 。即有：（2-1）证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标 轴（如图22）。 由于液体处于平衡状态，则有 ，即各向分力投影之和亦 为零，则：（22）x方向受力分析:表面力：（23） 当四面体无限

3、地趋于O点时，则dxO，因此， 类似地有：而 是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与 作用面的方位无关。说明:（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点各个方向的静压强大小相等。n为斜面ABC的法线方向质量力：（2-4）（2-5）（3）.理想流体运动流体时，由于=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静压强分布特性。（2）.运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向的压强不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值， 即（2-6）第二节、 流体平衡微分方程 一、流体平衡微分方程欧拉方程1.欧拉方程在平衡流体中取一微元六面体，边

4、长分别为dx, dy, dz, 设中心点的压强为p(x, y, z)=p，对其进行受力分析（ 如图23）：y向受力:表面力：质量力：根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：整理得： (2-8) (2-7)流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程，简称为欧 拉欧拉方程）：(2-9)2.物理意义处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分 量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（ ）等于该方向上单位体积内的质量力的分量 （ 、 、 ）。 二、平衡微分方程的全微分式为对式(29)进行积分，将各分式分别乘以 、 、 然后相加，得（2-10）压强 是坐标的连续函数，由全微分定理 ，上式等号左边是压强力的

5、全微分。（2-11）上式是欧拉方程的全微分表达式，也称为平衡微分方 程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的， 将其代入式(211)进行积分，便可求得流体静压强的分 布规律。 三、等压面 1.等压面压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面， 例如静止液体的自由表面。2.等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒 正交于等压面。 （2-12）运用平衡微分方程的综合式，证明等压面的这一重要 性质,即等压面与质量力正交。 证明：如图24，设等压面如图，因面上各点的压强相等 （pC), 即 ，代入式(211)，得：式中 ，则等压面方程为以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力 在坐标

6、x 、 y、z方向的投影，dx、dy、dz为该点处微小有向线段 在 坐标x、y、z方向的投影，于是：即 和 正交。这里 在等压面上有任意方向，由此 证明，等压面与质量力正交。由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等 压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向铅 垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量 力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常 见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流 体的交界面等。 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式在同一种均质的静止液体中， 任意点的静压强，与其淹没深度 成正比

7、，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点重力作用下静止流体质量力： 代入流体平衡微分方程的综合式：（2-14）1、在重力作用下的静止流体，选直角坐标系为Oxyz，自由液面的位置高度为z0，压强为p0，液体中任意一点的压强为质量力只有重力，X0，Y0，Zg代入公式： 得到由边界条件z=z0，p=p0可得：在自由液面上有： ， ，由此可得水静力学基本方程： 或 2. 连通器原理帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理：在仅受重力 作用下的均质、连通、静止的液体中，水平面就是等压面。仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强随深度 按线性规律变化。仅受重力作用下，静止流

8、体中某一点的静压强等于表 面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。自由表面下深度h相等的各点压强均相等只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另 外一点的压强值。 （215） 二、重力作用下静流体力学基本方程1.重力作用下静流体力学基本方程因为 所以，静流体力学基本方程又可写为：或 （216） 2.静流体力学基本方程的意义：.位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比 位能，或单位位能或位置水头。 .测压管水头p/：表示单位重量流体从压强为大气压 算起所具有的压强势能，简称比

9、压能或单位压能或压强水头 。.测压管水头（ ）：单位重量流体的比势 能，或单位势能或测压管水头。仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基 准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增 高，压头减低。在均质（=常数）、连通的液体中，水平面 （z1 = z2=常数）必然是等压面（ p1 = p2 =常数）。二、气体静压强的计算在不考虑压缩性时，式(214)也适用于气体。但由于气体的密 度很小，在高差不很大时，气柱所产生的压强很小可以忽略。式 (214)，简化为 。例如储气罐内各点的压强都相等。三、压强的表示方法及单位1.压强的表示方法 .绝对压强：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压

10、强）为基准计量的压强，用 表示， 0 。.相对压强：又称“表压强”，是以当地工程大气压为基准计量的压强。用p表示，p= ， p可正可负，也可为零（图26）。图28压强的测量录像.真空度：是指Pabc小于一个大气压的受压状态， 相 对压强的负值时，如（图210）。真空值 （220）真空高度 （218）图210真空高度（219）（二）压强的单位及其换算1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。2.工程单位制：工程单位制中压强的单位主要有kgf/m2、 m（H2O）、mmHg和at等。3.单位换算：1pa =0.1013 M

11、Pa =101.3 Kpa =1.103105 Pa =1.033 kgf/m2=10.33 m（H2O）=760 mm（Hg）1at=1 kgf/m2=10 m（H2O）=736 mmHg=0.098 MPa =98 Kpa =98000 Pa说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。例21 求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强 （认为自由表面的绝对压强为1at）解：绝对压强 相对压强： 例22 密闭容器(图28)， 测壁上方装有U形管水银测压 计，该值hp20cm。试求安装在 水面下3.5m处的压力表读值。解: U形管测压计的左支管 开口通大气，液面相对

12、压强加 pN=0，容器内水面压强压力表读值图28测压计算第四节、流体的相对平衡 前面导出了惯性坐标系中，液体的平衡微分方程及其综合式(29)、式(211)。在工程实践中，还会遇到液体相对 于地球运动，而液体和容器之间，以及液体各部分质点之间 没有相对运动的情况，这种情况称为相对平衡。根据达兰贝尔（DAlembert, Jean le Rond法国数学家，1717.11.16 1783.10）原理，在质量力中计入惯性力，使流体运动的问 题，简化为静力平衡问题，可直接用式(29)计算。例如水 车沿直线等加速行驶，水箱内的水相对地球来说，随水车一 起运动，水和水箱，以及各部分水质点之间没有相对运动，

13、 相对平衡的液体质点之间无相对运动，也无切应力，只有压 强。相对平衡指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相 对运动的相对静止或相对平衡状。因为质点间无相对运动， 所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡 流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。一、等角速度旋转容器内液体的相对平衡盛有液体的圆柱形容器，静止时液体深度为H，该容器 绕垂直轴以角速度旋转。由于液体的粘滞作用，经过一段 时间后容器内液体质点以同样角速度旋转，液体均容器， 以及液体质点之间无相对运动，液面形成抛物面。压强分布规律 ， ， （220 ） 等压面：p=p0+（2r2/2g-z） （221）录像例23：求如图29所示等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。解：则 （222）（223）在原点（x=0，y=0，z=0）： 因为图29等角速旋转等角速度旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布 规律的一般表达式：（224） 等压面簇（包括自由表面，即 p=常数的曲面）方程（225 ） 等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。 具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程： 在自由液面上：用相对压强表示自由表面方程： （226）任一点压强：二、等角速度旋转球体内液体的相对平衡 压强分布规律 （227） 设球心处： 则 球壁上： ；