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1、工程流体力学 主讲: 冯 进长江大学机械工程学院 5 粘性流体动力学流体作为特定形态的物质,其流动过程必然遵循物质运动的基本原理,包括质量守恒、动量守恒、能量守恒原理等。本章将以控制体系统分析方法,建立流体流动系统质量守恒、动量守恒和能量守恒的微分方程和积分方程。 5.1 基本概念 与研究流体质点运动的拉格朗日方法和欧拉方法相对应,在研究流体运动的宏观行为时 ,既可在流场中选定部分流体即系统为对象, 也可选择确定的流场空间即控制体为对象。为 此,有必要首先说明系统与控制体这两个概念 之间的区别与联系。 一、系统 1.系统定义系统就是确定不变的物质集合。系统以外的物 质称为外界,系统与外界的分界
2、面称为边界。系统 可通过边界与外界发生力的作用和能量交换,但不 发生质量交换,即系统的质量是不变的。2.特点1).系统的质量不变,通过边界与外界发生力的作 用和能量交换。2).对于流动过程,系统边界形状也会不断发生 变化。二、控制体 1.控制体的定义控制体就是根据需要所选择的具有确定位 置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为 控制面。在控制面上不仅可以有力的作用和能 量交换,而且还可以有质量的交换。2.特点1).具有确定位置和体积形状的流场空间;2).在控制面上有力的作用和能量、质量的 交换。三、输运公式 基于“系统”的基本原理之所以要转换成 适用于“控制体”的表达形式,是因为控制体 的质量
3、是变化的,因此这种转换只涉及与质量 成正比的量,即系统质量、动量和能量,它们 以时间变化率的形式出现在基本原理表达式中 。为直观起见,以系统的质量变化率为例来 导出输运公式。 即:关于质量的输运方程为:上式中,等式左端表示系统的质量变化率,等式右端第一项表示控制体内质量对时间的变化率,等式右端第二项表示净流出控制体的质量流量,净流出控制体的质量流量等于流出控制体的质 量流量-流入控制体的质量流量。 5.2 质量守恒方程(连续性方程 ) 一、质量守恒方程的微分形式 如上图所示,在直角坐标下建立质量守恒方程。首先考察x方向的净质量流量: 同理在y和z方向的净质量流量有:控制体内的质量对时间的变化率
4、:因此,根据输运方程,有:这就是质量守恒方程的微分形式。 二、质量守恒方程的积分形式 在时刻t,控制体内流体有一定 质量,若在dt时间内流出控制体 的质量,大于流入的质量,则控制 体内的质量减少,反之则增加。 因此质量守恒定律可表述为:( 单位时间内流出控制体的质量) (单位时间内流入控制体的质量 )+单位时间内控制体质量的变化 率=0。流出和流入控制体的质质量的代数和称为净为净 流出控制体的质质量:控制体内的质质量对时间变时间变 化率: 故:这就是流体力学质量守恒方程的积分表达形式 。根据面积积分与体积积分的关系,有: 要满足上式积分等于零,必有:这就是质量守恒方程的微分形式。当稳态流动 时
5、,流体参数与流动参数均与时间无关,这时这时质量守恒方程为为: 当流体为不可压缩均质流体时,连续性方 程为: 例:试证下列不可缩流体运动存在的可能性。三、质量守恒方程的特殊形式 对于流管(如图示) ,我们研究过流截面S1和 过流截面S2之间的控制体 系统的质量。通过过流截 面S1单位时间流入控制体 系统的质量m1,即: 通过过流截面S2单位时间流入控制体系统 的质量m2,即:则控制体系统的质量对时间的变化率为:根据输运方程和质量守恒方程,有:稳态流动时,质量守恒方程简化为: 当过流截面S1和过流截面S2上各点的速度 方向与法线相重合且流速相等和密度不变时, 稳态流动的质量守恒方程简化为: 当过流
6、截面S1和过流截面S2上各点的速度 方向与法线相重合且流速相等时,不可压缩均 值流体的质量守恒方程简化为: 例1:如图所示的一不可压缩流体通过圆管 的流动,体积流量为Q,流动是定常的。(1) 体积流量为Q=0.4m3/s,假定截面l,2 和 3上的速度是均匀分布的,在三个截面处圆 管的直径分别为D1=0.4m 、D2=0.2m 和 D3=0.6m,求三个截面上的速度。(2)若截面1处的流量为Q=0.4m3/s,但密度 按以下规律变化:20.61, 31.21求三个截面上的速度值。 例2:已知粘性流体的动力粘度为,在圆 管中作层流流动时的速度分布为:求:(1)过流截面上的流量;(2)单位长度圆管
7、对流体的阻力;(3)在管内rr0/2处沿圆管每单位长流体的内 摩擦力。 4.3 运动方程 一、运动方程的微分形式1.流体中的应力流体力学表示应力的方法与固体力学相同 ,用表示正应力,表示切应力。用第一 个 下标表示应力承受面的外法线方向,第二个下 标表示应力方向。应力分量的正负按下述规则 确定:在外法线方向与某一坐标轴正向相同的 承受面上,方向与坐标轴正向相同的应力分量 为正,与坐标轴正向相反的应力分量为负。在 外法线方向与某坐标轴正向相反的承受面上情 况相反。 2.运动方程首先研究X方向的动量变化情况,在X方 向上受到的应力如图示:同理在Y和Z方向有:将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示:
8、 将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示:式中P为二阶应力张量,其具体形式为:二、运动方程的积分形式任取一体积为V、边界面积为S的 控制体系统。根据动量原理,动量的 变化率等于作用于该体积上的质量力 和表面力之和。以 表示作用在单位 质量上的质量力分布函数,以 表示 作用在单位面积上的面力分布函数(如 图示), 。则作用在V上的总质量力为:S上的总面力为: 控制体系统内的动量是:于是,动量定理可以写成下列表达式: 其中: 因此:这就是运动方程的积分形式。又因:故:这就是运动方程的微分形式。 三、本构方程 1.剪应应力互等定理1.剪应应力互等定理考虑流场中的微元流体,其瞬时转动中心 为C,微元体
9、所受到的力有质量力,切向粘性应力和正应力,质量力和正应力线通过瞬时转 动中心,对合力矩的贡献为零,只有切向粘性 力能产生使微元体旋转的力矩。首先考查对过 转动中心并平行于Z轴的转动轴的力矩,即:而MZ=ICZZ, ICZ绕过中心并平行于Z 轴的转动轴的转动惯量,Z Z方向的角加速 度。ICZ为长度尺寸的五次方,当x0, y0, z0时, ICZ0。故有 ,也就是剪应力互等。同理有: 2.剪应力的大小根据材料力学知识,剪应力等于剪切模量 剪应变,仿照此方法,根据stokes假设:牛顿流体 弹性固体对应关系:牛顿流体 弹性固体正应力 正应力剪应力 剪应力线应变率 线应变角应变率 角应变粘度 剪切模
10、量流体的剪应力=粘度剪应变率,即: 3.正应力根据广义虎克定律,对于各向同性的弹性固体,其应力与应变存在如下关系:(1)(2)(3)泊松比。三式相加,整理得:弹性固体的G、E、有如下关系:对于式 对牛顿流体有:由于流体静止时,压强各个方向相等,应变率 为零,故设: 式中 :四、运动微分方程几种形式 1.运动微分方程的一般形式 2. 常粘度的运动微分方程3. 不可压缩流体的运动微分方程当不可压缩流体的粘度不变时 例:设某一流体流动为:ux=2y十3z,uy3z十x,uz=2x十4y该流体的粘性系数0.008Nsm2,求 其切应力。5.4 能量方程任取一界面为S的流体团,其体积为V,设 为界面的外
11、法线单位矢量。根据能 量守恒定律,体积V内流体的动能和内能对时间改变率等于单位时间内质量力和面力所 作的功加上单位时间内给予体积V的热量。因此,体积V的动能和内能总和是: 其中U是单位质量的内能。单位时间质量力和 面力所作的功则是:现在来研究体积V热量的增加,传热方式 主要有热传导和热辐射两种,根据富利叶公式 ,单位时间内由于热传导通过表面ds传给V的 热量是:f是热流矢量,它是温度梯度的线性函数,即:K热传导系数,一般为二阶张量。对于空气和 水这类各向同性流体, ,k为热传导系数 。单位时间内由于热传导通过表面S传给V的热量 为:设q为由于热辐射或其它原因在单位时间 内传给单位质量流体的热量
12、分布函数,则单位 时间内由于热辐射或其它原因传给V的热量为 : 能量守恒定律可以写为:这就是能量方程的积分形式。在上式中:能量守恒定律又可以写为:由于V是任意的,故:这就是能量方程的微分形式。 对N-S方程两端点乘矢量 ,得:将上式代入微分形式能量方程,得:称耗散函数微分形式能量方程变为:根据连续性方程, ,因此有根据热力学理论S称为熵,i称为焓。微分形式能量方程变为:等容过程时 ,CV为等容比热,这时能 量方程为:等压过程时 ,Cp为等压比热,这时能 量方程为:5.5 状态方程由前面建立的连续性方程、运动方程和能 量方程可以看出,当流体为不可压缩流体时变 量有四个:ux、 uy 、 uz和p,由连续性方程 、运动方程可构成封闭的方程组,求解这四个 变量。然后,将已求出的量代入能量方程求温 度T。当流体为可压缩流体时变量有五个: ux 、 uy 、 uz、p和,必须加上能量方程,可 是能量方程中又多了未知温度T,故必须加上 状态方程: 状态方程:对完全气体:为单位质量气体的体积,R为气体常数。等温过程有:绝热过程有:为比热比,它等于: