《工程流体力学5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程流体力学5（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、工程流体力学 主讲: 冯 进长江大学机械工程学院 5 粘性流体动力学流体作为特定形态的物质，其流动过程必然遵循物质运动的基本原理，包括质量守恒、动量守恒、能量守恒原理等。本章将以控制体系统分析方法，建立流体流动系统质量守恒、动量守恒和能量守恒的微分方程和积分方程。 5.1 基本概念 与研究流体质点运动的拉格朗日方法和欧拉方法相对应，在研究流体运动的宏观行为时 ，既可在流场中选定部分流体即系统为对象， 也可选择确定的流场空间即控制体为对象。为 此，有必要首先说明系统与控制体这两个概念 之间的区别与联系。 一、系统 1.系统定义系统就是确定不变的物质集合。系统以外的物 质称为外界，系统与外界的分界
2、面称为边界。系统 可通过边界与外界发生力的作用和能量交换，但不 发生质量交换，即系统的质量是不变的。2.特点1).系统的质量不变,通过边界与外界发生力的作 用和能量交换。2).对于流动过程，系统边界形状也会不断发生 变化。二、控制体 1.控制体的定义控制体就是根据需要所选择的具有确定位 置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为 控制面。在控制面上不仅可以有力的作用和能 量交换，而且还可以有质量的交换。2.特点1).具有确定位置和体积形状的流场空间；2).在控制面上有力的作用和能量、质量的 交换。三、输运公式 基于“系统”的基本原理之所以要转换成 适用于“控制体”的表达形式，是因为控制体 的质量
3、是变化的，因此这种转换只涉及与质量 成正比的量，即系统质量、动量和能量，它们 以时间变化率的形式出现在基本原理表达式中 。为直观起见，以系统的质量变化率为例来 导出输运公式。 即：关于质量的输运方程为：上式中，等式左端表示系统的质量变化率，等式右端第一项表示控制体内质量对时间的变化率，等式右端第二项表示净流出控制体的质量流量，净流出控制体的质量流量等于流出控制体的质 量流量-流入控制体的质量流量。 5.2 质量守恒方程（连续性方程 ） 一、质量守恒方程的微分形式 如上图所示，在直角坐标下建立质量守恒方程。首先考察x方向的净质量流量: 同理在y和z方向的净质量流量有:控制体内的质量对时间的变化率
4、：因此，根据输运方程，有:这就是质量守恒方程的微分形式。 二、质量守恒方程的积分形式 在时刻t,控制体内流体有一定 质量，若在dt时间内流出控制体 的质量,大于流入的质量，则控制 体内的质量减少，反之则增加。 因此质量守恒定律可表述为：（ 单位时间内流出控制体的质量） (单位时间内流入控制体的质量 )+单位时间内控制体质量的变化 率=0。流出和流入控制体的质质量的代数和称为净为净 流出控制体的质质量：控制体内的质质量对时间变时间变 化率： 故：这就是流体力学质量守恒方程的积分表达形式 。根据面积积分与体积积分的关系，有： 要满足上式积分等于零，必有：这就是质量守恒方程的微分形式。当稳态流动 时
5、，流体参数与流动参数均与时间无关，这时这时质量守恒方程为为: 当流体为不可压缩均质流体时，连续性方 程为: 例：试证下列不可缩流体运动存在的可能性。三、质量守恒方程的特殊形式 对于流管（如图示） ，我们研究过流截面S1和 过流截面S2之间的控制体 系统的质量。通过过流截 面S1单位时间流入控制体 系统的质量m1，即： 通过过流截面S2单位时间流入控制体系统 的质量m2，即：则控制体系统的质量对时间的变化率为：根据输运方程和质量守恒方程，有：稳态流动时，质量守恒方程简化为： 当过流截面S1和过流截面S2上各点的速度 方向与法线相重合且流速相等和密度不变时， 稳态流动的质量守恒方程简化为： 当过流
6、截面S1和过流截面S2上各点的速度 方向与法线相重合且流速相等时，不可压缩均 值流体的质量守恒方程简化为： 例1：如图所示的一不可压缩流体通过圆管 的流动，体积流量为Q，流动是定常的。(1) 体积流量为Q=0.4m3/s，假定截面l，2 和 3上的速度是均匀分布的，在三个截面处圆 管的直径分别为D1=0.4m 、D2=0.2m 和 D3=0.6m，求三个截面上的速度。(2)若截面1处的流量为Q=0.4m3/s，但密度 按以下规律变化：20.61， 31.21求三个截面上的速度值。 例2：已知粘性流体的动力粘度为，在圆 管中作层流流动时的速度分布为：求：(1)过流截面上的流量；(2)单位长度圆管
7、对流体的阻力；(3)在管内rr0/2处沿圆管每单位长流体的内 摩擦力。 4.3 运动方程 一、运动方程的微分形式1.流体中的应力流体力学表示应力的方法与固体力学相同 ，用表示正应力，表示切应力。用第一 个 下标表示应力承受面的外法线方向，第二个下 标表示应力方向。应力分量的正负按下述规则 确定：在外法线方向与某一坐标轴正向相同的 承受面上，方向与坐标轴正向相同的应力分量 为正，与坐标轴正向相反的应力分量为负。在 外法线方向与某坐标轴正向相反的承受面上情 况相反。 2.运动方程首先研究X方向的动量变化情况，在X方 向上受到的应力如图示：同理在Y和Z方向有：将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示：
8、 将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示：式中P为二阶应力张量，其具体形式为：二、运动方程的积分形式任取一体积为V、边界面积为S的 控制体系统。根据动量原理，动量的 变化率等于作用于该体积上的质量力 和表面力之和。以 表示作用在单位 质量上的质量力分布函数，以 表示 作用在单位面积上的面力分布函数(如 图示)， 。则作用在V上的总质量力为：S上的总面力为： 控制体系统内的动量是：于是，动量定理可以写成下列表达式： 其中： 因此：这就是运动方程的积分形式。又因：故：这就是运动方程的微分形式。 三、本构方程 1.剪应应力互等定理1.剪应应力互等定理考虑流场中的微元流体，其瞬时转动中心 为C，微元体
9、所受到的力有质量力，切向粘性应力和正应力，质量力和正应力线通过瞬时转 动中心，对合力矩的贡献为零，只有切向粘性 力能产生使微元体旋转的力矩。首先考查对过 转动中心并平行于Z轴的转动轴的力矩，即：而MZ=ICZZ， ICZ绕过中心并平行于Z 轴的转动轴的转动惯量，Z Z方向的角加速 度。ICZ为长度尺寸的五次方，当x0, y0, z0时, ICZ0。故有 ，也就是剪应力互等。同理有： 2.剪应力的大小根据材料力学知识，剪应力等于剪切模量 剪应变,仿照此方法,根据stokes假设：牛顿流体 弹性固体对应关系:牛顿流体 弹性固体正应力 正应力剪应力 剪应力线应变率 线应变角应变率 角应变粘度 剪切模
10、量流体的剪应力=粘度剪应变率，即： 3.正应力根据广义虎克定律，对于各向同性的弹性固体，其应力与应变存在如下关系：（1）（2）（3）泊松比。三式相加，整理得：弹性固体的G、E、有如下关系：对于式 对牛顿流体有：由于流体静止时，压强各个方向相等，应变率 为零，故设： 式中 ：四、运动微分方程几种形式 1.运动微分方程的一般形式 2. 常粘度的运动微分方程3. 不可压缩流体的运动微分方程当不可压缩流体的粘度不变时 例：设某一流体流动为:ux=2y十3z，uy3z十x，uz=2x十4y该流体的粘性系数0.008Nsm2，求 其切应力。5.4 能量方程任取一界面为S的流体团，其体积为V，设 为界面的外
11、法线单位矢量。根据能 量守恒定律，体积V内流体的动能和内能对时间改变率等于单位时间内质量力和面力所 作的功加上单位时间内给予体积V的热量。因此，体积V的动能和内能总和是： 其中U是单位质量的内能。单位时间质量力和 面力所作的功则是：现在来研究体积V热量的增加，传热方式 主要有热传导和热辐射两种，根据富利叶公式 ，单位时间内由于热传导通过表面ds传给V的 热量是:f是热流矢量，它是温度梯度的线性函数，即：K热传导系数，一般为二阶张量。对于空气和 水这类各向同性流体， ，k为热传导系数 。单位时间内由于热传导通过表面S传给V的热量 为：设q为由于热辐射或其它原因在单位时间 内传给单位质量流体的热量
12、分布函数，则单位 时间内由于热辐射或其它原因传给V的热量为 ： 能量守恒定律可以写为：这就是能量方程的积分形式。在上式中：能量守恒定律又可以写为：由于V是任意的，故：这就是能量方程的微分形式。 对N-S方程两端点乘矢量 ，得:将上式代入微分形式能量方程，得：称耗散函数微分形式能量方程变为：根据连续性方程， ，因此有根据热力学理论S称为熵，i称为焓。微分形式能量方程变为：等容过程时 ，CV为等容比热，这时能 量方程为：等压过程时 ，Cp为等压比热，这时能 量方程为：5.5 状态方程由前面建立的连续性方程、运动方程和能 量方程可以看出，当流体为不可压缩流体时变 量有四个：ux、 uy 、 uz和p，由连续性方程 、运动方程可构成封闭的方程组，求解这四个 变量。然后，将已求出的量代入能量方程求温 度T。当流体为可压缩流体时变量有五个： ux 、 uy 、 uz、p和，必须加上能量方程，可 是能量方程中又多了未知温度T，故必须加上 状态方程： 状态方程：对完全气体：为单位质量气体的体积，R为气体常数。等温过程有：绝热过程有：为比热比，它等于：
