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1、2-4 梁弯曲时的内力及内力图一、概述弯曲:以轴线变弯为主要特征的变形形式。梁:以弯曲为主要变形的杆件。1、平面弯曲（plane bending )受力特点： 所有外力都作用在过杆轴线的纵向对称内， 并垂直于轴线。变形特点：轴线由直线变成了纵向对称面内的平面曲线 。 2、三种常见静定梁简支梁外伸梁悬臂梁二、梁弯曲时横截面上的内力剪力FQ和弯矩M 例1 简支梁 AB 跨度l ，F 作用在跨中 。求梁任意 x 处内力。 xABlFC解：1、求反力FA FBFA = FB = 0.5F2、求内力FQFAM剪力 FQ = FA = 0.5F 弯矩 M = FA x = 0.5Fx剪力和弯矩的正负号规定
2、：剪力和弯矩的正负号规定： 剪力：对所取梁内任一点之矩顺时针转向为 “+” ； 反之为“ ”。 弯矩：使梁产生上凹下凸变形为 “+” ；反之为“ ”。FQFQFQ为 +FQFQFQ为 M为 +M为 例2 求外伸梁C、D左右截面的剪力与弯矩。 qF1MF2ACBDE llla解:(1)求反力 FAFB(2)求FQC左、 MC左FAqFQC左MC左FQC左=FAql MC左=FAlql2/2(3)求FQC右、 MC右FAqF1FQC右MC右FQC右=FAql F1 MC右=FAlql2/2例2 (续) (4)求FQD左、 MD左 qF1MF2ACBDE lllaFAFBFQC左=FAql MC左=
3、FAlql2/2 FQC右=FAql F1 MC右=FAlql2/2(4)求FQD左、 MD左FAF1qFQD左MD左FQD左=FA F12ql MD左=2FAl F1l2ql2(5)求FQD右、 MD右FAF1qM FQD右MD右FQD右=FA F12ql MD右=2FAl F1l2ql2 M求梁的剪力 FQ 和弯矩 M 大小的规律： qF1MF2ACBDE lllaFAFBFQD左=FA F12ql FQD右=FA F12qlMD左=2FAl F1l2ql2 MD右=2FAl F1l2ql2 M(1)梁任一横截面上的剪力，其数值等于该横截面的任一侧 (左边或右边)梁上所有外力在梁轴线垂线上
4、投影的代数和 。 (2)梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该横截面任一侧(左边或右边)梁上所有外力对截面形心的力矩的代数和。 例 2(续) 试求C、D左右截面的剪力与弯矩。q=1kN/mF1 =2kN M=10kNm F2=2kNACBDE 4m4m4m3mFAFBFA =7kN FB =5kN FQC左=3kN FQC右=1kN FQB右= 2kN FQB左= 3kNMC= 20kNm MD右= 6kNm MD左= 16kNm三、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图例1：简支梁受集中力F 作用，试绘FQ、M图 。xFABlabCFAFBFQ图Fb l(+ )Fa l( ) M图Fab/l(+ )例2：
5、简支梁受集中力偶M 作用，试绘FQ、M图 。MABlabCFAFBxFQ图M l (+ )M图Ma l(+ )Mb l( )例3：简支梁受均布载荷 q 作用，试绘FQ、M图 。ABlqx FAFBFQ图ql 2(+ )ql 2( )M图ql 2/8(+ )四、剪力、弯矩、载荷集度间的微分关系 FMq(x)xdx分布荷载作用下的微分关系规定：q(x)以向上为正dxCq (x)FQMFQ+ dFQM+ dMFy = 0, MC = 0, 剪力图某点处的切线斜率，等于相 应截面处的载荷集度。弯矩图某点处的切线斜率，等于相 应截面的剪力。弯矩图某点处的二阶导数，等于相 应截面处的载荷集度。内力图 q(
6、x)FQ图M 图常 量= 0 0 ( )0 ( ) 0 ( )或或集中载荷（力）作用点，剪力图上有突变，突变 大小与方向，恰与载荷F相当。弯矩图上有尖点。 集中力偶作用点，弯矩图上有突变，突变大小与 方向，恰与力偶M相关。剪力图上无变化。|M|max可能作用截面：(1)FQ=0的截面;(2)集中力作用的截面;(3)集中力偶作用的截面。例4 试绘外伸梁FQ、M图 。q=1kN/mF1 =2kN M=10kNm F2=2kNACBDE 4m4m4m3mFAFBFA =7kN FB =5kN FQC左=3kN FQC右=1kN FQB右= 2kN FQB左= 3kNFQ图7kN3kN(+ )1kN2kN(+ )3kN( )Gxx=1m MC= 20kNm MB= 6kNm MD右= 6kNm MD左= 16kNm MG= 20.5kNmM图20kNm16kNm 6kNm6kNm( )20.5kNm(+ )例5 试绘悬臂梁FQ、M图 。qBqM=qa2ACDaaaFDMDFD =qa MD=1.5qa2 FQB =qa MB=0.5qa2 MC左=qa2 MC右=2qa2FQ图qaqa(+ )( ) M图0.5qa22qa2 qa21.5qa2(+ )例2 已知：如图所示，试绘内力图。
