解析几何发展史

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1、 解析几何的产生 现代解析几何的发展历 程 解析几何重要思想解析几何的产生背景 十六世纪以后，科学 发展迅速，力学、航 海、天文等方面都有 重大发现解析几何的产生背景 意大利科学家伽利略 发现投掷物体是沿着 抛物线运动的解析几何的产生背景 德国天文学家开普勒 发解析几何的产生现 行星是绕着太阳沿着 椭圆轨道运行的，太 阳处在这个椭圆的一 个焦点上 生产和科学技术的这种发展状况离不 开数学。许多学科和工程技术都日益广泛 和深入地运用着数学这个工具，同时也给 数学提出许多新问题这类问题具有共同 的特点，就是物体的运动这就要求数学 从运动变化的角度去研究问题特别是要 求把形与数结合起来 在以落体和行

2、星为典型的机械运动的 研究中，提出两个基本的问题：一个是已 知路程求速度；一个是已知速度求路程 在等速运动的情况下，这两个问题用初等 数学就可以解决但在速运动的情况下， 只用初等数学的方法就无能为力了因为 速度成了变量，初等的常量数学无法描述 时间、位置、速度之间的复杂关系，这种 矛盾要求数学突破研究常量的范围，提供 能够用以描述和研究物体运动以及变化过 程的新的数学概念变量和函数，新的数 学近代数学本质上是变量数学解析几何的先驱笛卡儿(RenDescartes)(1596-1650) 法国科学家、哲学家, 数学家，1596年3 月13日，生于法国西部的希列塔尼半岛 上的图朗城，3天后，母亲去

3、世，从小便 失去母亲的笛卡儿一直体弱多病。1649 年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯 蒂娜的邀请来 到瑞典首都斯德哥尔摩， 为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学，很 遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适 应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的 数学家、物理学家和哲学家病倒了。 1650年2月11日，这位科学巨人与世长 辞了。 笛卡儿他是以下列身份的结合来研 究数学的，作为哲学家、作为自然 界的探索者、作为一个关心科学用 途的人他的基本思想是要建立起 一种普通的数学，使算术，代数和 几何统一起来他曾说：“我决心 放弃那些仅仅是抽象的几何，这就 是说，不再去考虑那些仅仅是用来 练习思维的问题我这样做，

4、是为 了研究另一种几何，即目的在于解 释自然现象的几何 著作：几何学笛卡几 何学所阐述的思想，被弥尔 称作“精密科学进步中最伟大 的一步” 笛卡儿的理论以两个观念为基 础：坐标观念和利用坐标方法 把带有两个未知数的任意代数 方程看成平面上的一条曲线 他的几何学共分三个部分 ：第一部分包括对一些代数式 作几何的原则解释，在这一部 分中，笛卡儿把几何算术化了 ；第二部分讨论了曲线的分类 法以及作曲线的切线的方法。 第三部分涉及高于二次方程的解法，指 出了，方程可能有和它的次数一样多的 根，还提出了著名的笛卡儿符号法则 指出了多项式方程：f (x) = 0 的正根的最 多数目等于系数变化的次数，而负

5、根的 最多数目等于两个正号和两个负号连续 出现的次数在他的几何学中第一 次出现变量与函数的思想笛卡儿所谓 的变量，是指具有变化长度而不变方向 的线段，还指连续经过坐标轴上所有点 的数字变量，正是变量的这两种形式使 笛卡儿试图创造一种几何与代数互相渗 透的科学笛卡儿的功绩是把数学中两 个研究对象“形” 与“数” 统一起来， 并在数学中引入“变量”，完成了数学 史上一项划时代的变革 笛卡儿对韦达所采用的符号作 了改进，他用字母表中开头几 个字母a;b;c 等表示己知数，而 用末尾几个字母x;y; z 等表示未 知数，这种表示法一直沿用至 今他还考虑过高次抛物线(yn = px; n 2)，并且给出

6、了作摆 线切线的相当精巧的方法笛 卡儿认为科学的本质是数学 笛卡儿认为科学的本 质是数学 他说“我 尤其对数学推理的确 实性与明了性感到高 兴” 他强调科学的 目的在于“造福人类 ”，使人成为自然界 的“主人和统治者”费马是法国数学家，1601 年8 月出生于生活在富裕舒 适的环境中费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受 到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好， 对他的性格也产生了重要的影响直到14 岁时，费马 才入博蒙 德 洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大 学和图卢兹大学学习法律在数学上，数学论集是 费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书 而出版的我们现在早就认识到时间性对于科学的

7、重 要，即使在17 世纪，这个问题也是突出的费马的数 学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完 全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进 的步伐费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发 现，如果通过坐标系把代数用于几 何，轨迹的研究就易于进行，他定 义了以下曲线：直线方程为：b=d =(ax)=y；椭圆方程为： a2x2=ky2；双曲线方程为：xy =k2;a2 +x2 = ky2；抛物线方程为 ：x2 = ay; y2 = ax后来又写了 一篇短文平面与立体轨迹引论 (1679 年表)，提出了一个很重要 的命题：两个未知量决定一个方程 式，对应着一条轨迹可以描绘一条 直线或曲线1643 年

8、他又在一封 信中描述了三维解析几何的思想 1629年以前，费马便着手重写公元前三世 纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（与欧 几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家 ，他的著作圆锥曲线论是古代世界 光辉的科学成果）失传的平面轨迹 一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关 于轨迹的一些失传的证明作了补充，对 古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆 锥曲线论（苏注：圆锥曲线包括椭圆、 双曲线和抛物线。对于圆锥曲线，后文 需用它说明一个问题，到那时，我再对 它作出较详细的解释）进行了总结和整 理，对曲线作了一般研究。并于1630年用 拉丁文撰写了仅有八页的论文平面与 立体轨迹引论（苏注：即研究“点” 在平面和立体空间中

9、运动划出的“轨迹 ”，主要指直线和各种曲线。费尔马又 是用代数方法研究的，所以与笛卡尔的 类似。笛卡尔坐标中实际也是将直线和 曲线看成点的运动轨迹的，所以又叫“ 变数”。“点的坐标”有规律地变 化，就“跑”出了一条抛物线或双曲线 ）。费马一生从未受过专门的 数学教育，数学研究也不 过是业余之爱好然而， 在17 世纪的法国还找不到 哪位数学家可以与之匹敌 ：他是解析几何的发明者 之一；对于微积分诞生的 贡献仅次于牛顿、莱布尼 茨，概率论的主要创始人 ，以及独承17 世纪数论天 地的人此外，费马对物 理学也有重要贡献一代 数学大才费马堪称是17 世 纪法国最伟大的数学家解析几何的创建，最重要的一点

10、是在数学 中引进了变数变数的引入，成了数学发展 的转折点，并促进了微积分的发展笛卡儿 在他的几何学论文中研究透镜的聚光性 能时，讨论了求曲线的切线问题费马在研 究一个量的极大值极小值时，借助运动的观 点，提出了求切线的方法这些都是微积分 中微分计算的先导现代解析几何的发展历程牛顿在1704 年，对于二次 和三次曲线理论进行了比较 系统的研究特别是，得到 了“直径” 的一般理论例 如，二次曲线的平行弦中点 的轨迹是直线，这个结论， 对于椭圆、双曲线、抛物线 都是正确的对于这个早已 熟知的命题，要用综合几何 的方法来论证是非常困难的 ，但用解析几何的方法很容 易就证明了这也显示了解 析几何的作用1

11、748 年，著名数学家欧拉（1707 1783）在他的分析引论著作 中论述并发展了解析几何，他不仅 对二次曲线进行了详细讨论，而且 还研究了高阶曲线他讨论了坐标 的平移和旋转，并且得出在坐标变 换下，方程的次数不会改变同时 ，欧拉还在他的书中详细讨论了带 两个变量的二次方程总可以化成9 种标准形式中的一种也就是对平 面曲线作了分类拉格朗日在1788年表的著作解析 力学中把力、速度、加速度“算 术化” 了他把力、速度、加速 度表示为有向线段有向线段沿坐 标的分解系数或有向线段在轴上的 射影是一组数这样有向线段就可 以和数组对应起来，也就是所谓的 “算术化” 由于数学和物理在电 学的影响下，广泛地

12、讨论和使用有 向线段的理论，因此后来就被称为 向量向量理论现己成为解析几何 的主要组成部分在18 世纪前半期，法国的克莱洛（1713 1765）和拉盖尔（18341886）把解 析几何在空间展开他们把空间的点与 三数组对应起来含三个变量的方程表 示曲面；每个含三个变量的一次方程表 示一个平面；直线可作为两个平面的交 线，含有三个变量的一般二次方 程可经过坐标轴的平移和旋转化简成17 种标准方程，它们表示根本不同的17 种 类型的曲面：有两种椭圆面（实的和虚 的），两种双曲面（单叶的和双叶的） ，两种抛物面（椭圆的和双曲的），两 种二阶锥面（实的和虚的）以 及9 种柱面所有这些曲面，在力学、 物

13、理学和科学技术中都有它们的用场数形结合思想在解析几何中的应用 把数量关系的研究转化为图形性质的研 究，或者把图形性质的研究转化为数量 关系的研究，这种解决问题过程中“数” 与“形”相互转化的研究策略，就是数形 结合的思想。数形结合思想就是要使抽 象的数学语言与直观的图形结合起来， 使抽象思维与形象思维结合起来. 数形结合思想：数（式） 形“几何意义”观察形的变化得出结论A从点P(m , 3)向圆引切线，则切线长最小值 为-。(x+2)2(y+2 )2+=12 6YXO3-2-2PPP直线l 过点M(-1 , 2)且与以P(-2 , -3)、Q(4,0)为端 点的线 段相交，则l 斜率的取值范围

14、是-。2YXO4-2-3-1MPQ 2YXO5,+) (- , 52已知双曲线 的右焦点为F，点A(9 , 2)不在双曲线上，在这个曲线上求一点M，使 最小，并 求出这个最小值。9x2y2 16=1 MA3 5MF+2YXO9 -235 -3-5A(9,2)FMdMYXO5-5-44已知x，y满足条件 ，求y-3x的最值。x2 16+y2 25=1 y-3x最大值为： 13y-3x最小值 为：-13 解析几何从产生到现在，经过漫长的发展道路 现代的解析几何无论是方法还是内容己发生 了很大变化方法更加多样，内容更加丰富和 广泛，特别是具有重要意义的变换，变换群以 及不变量的理论己被引入解析几何因而，仿 射几何、射影几何已成为解析几何的一部分 它们在研究几何图形的仿射、射影性质，在研 究二次曲线和二次曲面的分类推理以及建筑、 测绘等方面都有广泛的应用由于解析几何的产生， 和在长期积累的大量数 学成果的基础上，牛顿 （16421707）和莱布尼 兹（16461716）于17世纪 后期建立了微积分解 析几何和微积分的出现 ，使得实践中很多问题 变得容易解决了，它们 从本质上改变了当时数 学面貌解析几何和微 积分的出现，实现了常 量数学向变量数学的飞 越，因此，微积分的出 现是建立和发展变量数 学的又一个伟大成就