《高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.1.5 直角三角形的射影定理学案 北师大版选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.1.5 直角三角形的射影定理学案 北师大版选修4-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -1.51.5 直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理1.理解直角三角形的射影定理并会证明.2.会应用直角三角形的射影定理解决直角三角形的有关问题.基础初探教材整理 1 比例中项如果abbc(即b2ac)，那么b称为a和c的比例中项.1.已知 4 是a与 8 的比例中项，求实数a的值.【解】 4 是a与 8 的比例中项，428a，a2.教材整理 2 直角三角形的射影定理(1)定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.(2)表示：如图 1157，在 RtABC中，CD为斜边AB上的高，则有BC2BDBA，AC2ADA
2、B，CD2ADDB.图 11572.已知：在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，BC cm，BD3 cm，则15AD的长是( )A.5 cmB.2 cmC.6 cmD.24 cm【解析】 由题意知BC2BDAB，AB5，15 3ADABBD532.- 2 -【答案】 B3.如图 1158 所示，在 RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD2，BD3，则AC_.图 1158【解析】 由CD2BDAD得AD ，4 3ABBDAD3 ，4 313 3AC2ADAB ，4 313 352 9AC.2 3 13【答案】 2 1334.在 RtABC中，ACB90，CD是高，AC12 cm，B
3、C15 cm，则SACDSBCD_. 【导学号：96990009】【解析】 由直角三角形的射影定理知，AC2ADAB，BC2BDAB，AD BDAC2 BC2122 15216 25.SACD SBCDAD BD16 25【答案】 1625质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 小组合作型- 3 -利用射影定理进行计算已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为ACBC34.求：(1)ADBD的值；(2)若AB25 cm，求CD的长.【精彩点拨】 先根据ACBC与ADBD之间的关系求出ADBD的值；
4、再根据斜边AB的长及ADBD的值分别确定AD与BD的值.最后由射影定理CD2ADBD，求得CD的长.【自主解答】 (1)AC2ADAB，BC2BDAB，ADAB BDABAC2 BC222，AD BD(AC BC)(3 4)9 16即ADBD916.(2)AB25 cm，ADBD916，AD259(cm).9 25BD2516(cm)，16 25CD12(cm).ADBD9 161.解答本题(1)时，关键是把转化为2.AD BD(AC BC)2.解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度.在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达
5、到最终目的.再练一题1.本例中若条件改为“AD6 cm，CD2 cm” ，试求：3(1)A的度数；(2)ABC的面积. 【导学号：96990010】【解】 (1)CD2 cm，AD6 cm，3tan A，A30.CD AD2 3633(2)CD2ADBD，BD2(cm).CD2 AD12 6AB628(cm)，- 4 -SABC ABCD 828(cm2).1 21 233利用射影定理进行证明已知：如图 1159，BAC90，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分别为D，E，F.求证：.AB3 AC3BE CF图 1159【精彩点拨】 本题要证的等式左边次数较高，不易发现规律，故可从较简单的右边
6、入手探求等式成立的条件.【自主解答】 由射影定理得BD2BEAB，即BE.BD2 AB又CD2CFAC，CF.CD2 AC得，2.BE CFBD2 ABAC CD2(BD CD)AC AB由射影定理得，AB2BCBD，即BD.AB2 BC同理AC2CDBC，CD.AC2 BC.BD CDAB2 AC2将代入得.BE CFAB3 AC31.在从右往左证明时，先根据射影定理得到BE，CF，从而得到，再把有关元素进行BE CF转化.2.利用直角三角形的射影定理证明恒等式时，要结合图形，仔细分析题目的结论，合理利用射影定理中提供的等式.- 5 -再练一题2.如图 1160 所示，在ABC中，AD为BC
7、边上的高，过D作DEAB，DFAC，E，F为垂足.求证：图 1160(1)AEABAFAC；(2)AEFACB.【证明】 (1)ADBC，DEAB，DFAC，在 RtABD中，由射影定理得AD2AEAB，在 RtADC中，由射影定理得AD2AFAC，AEABAFAC.(2)AEABAFAC，.AE ACAF AB又EAFCAB，AEFACB.探究共研型射影定理的条件探究 1 如何使用射影定理？【提示】 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似
8、相联系，要注意它们的综合应用.探究 2 命题“如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形”是否正确？若正确，你能证明吗？【提示】 命题正确.如图所示，在ABC中，CDAB于D，若CD2ADBD，则ABC为直角三角形.证明如下：CDAB，CDABDC90.又CD2ADBD，即ADCDCDBD，ACDCBD.- 6 -CADBCD.又ACDCAD90，ACBACDBCDACDCAD90，即ABC为直角三角形.如图 1161 所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.图 1161求证：DF2FGFH.【精彩
9、点拨】 首先证明三角形相似，然后再在 Rt中利用射影定理进行转化证明.【证明】 BEAC，ABEBAE90.同理，HHAF90，ABEH.又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH.在 RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.再练一题3.在 RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD14，则 tan BCD的值是( )A. B.1 41 3C.D.21 2【解析】 如图，由射影定理得CD2ADBD，又BDAD14，令BDx，则AD4x(x0)CD2ADBD4x2，CD2x.在 RtCDB中，tanBCD .BD CDx 2x1 2【答案】 C构建体系- 7 -1
10、.一个直角三角形两条直角边的比为 1，则它们在斜边上的射影比为( )5A.12B.13C.1 D.155【解析】 设 RtABC中ACB90，CDAB于D，则AC BC15AC2ADAB，BC2BDAB，22 .AD BD(AC BC)(15)1 5【答案】 D2.如图 1162 所示，在ABC中，ACB90，CDAB，D为垂足，若CD6，ADDB12，则AD的值是( )图 1162A.6 B.32C.18D.36【解析】 由题意知Error!AD218，AD3.2【答案】 B3.如图 1163 所示，在矩形ABCD中，AEBD，OFAB，DEEB13，OFa，则对角线BD的长为_. 【导学号
11、：96990011】- 8 -图 1163【解析】 由题意知，AD2a，DEBD，1 4AD2DEBDBD2，1 4BD24AD216a2，BD4a.【答案】 4a4.如图 1164 所示，在ABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F，且BDCF2CDEF2.图 1164求证：EFDFBCAC.【证明】 BAC90，ADBC，由射影定理知AC2CDBC，即.AC CDBC ACBE平分ABC，EAAB，EFBC，AEEF.EFBC，ADBC，EFAD.AE DFAC DC.EF DFAC DCEF DFBC AC即EFDFBCAC.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) - 9 -
