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1、返回上页页下页页目录录第三节 全微分 第七章 (Total Differential)一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、小结与思考练习Date1返回上页页下页页目录录一、全微分的定义引例: 设一块长方形金属薄片的长和宽分别为x、y，（Definition of Total Differentials）从而薄片的面积为Sx y ，金属薄片受温度变化的影响, 变到长由变到宽由则此薄片面 积的增量为关于x 、y 的线性主部当时，是比的高阶无穷小. 故称为函数S x y在点(x , y)的全微分Date2返回上页页下页页目录录定义 函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x ,
2、 y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.一般地，我们有二元函数全微分的定义。Date3返回上页页下页页目录录二、全微分存在的条件函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微得函数在该点连续即由微分定义 :(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微偏导数存在 函数可微 （Existence Conditions of Total Differenti
3、al）Date4返回上页页下页页目录录若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 定理1(必要条件)Date5返回上页页下页页目录录反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:Date6返回上页页下页页目录录证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.定理2 (充分条件)Date7返回上页页下页页目录录所以函数在点可微 .注意到, 故有Date8返回上页页下页页目录录类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如,
4、三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是推广: Date9返回上页页下页页目录录在点 (2,1) 处的全微分. 解:例2 计算函数的全微分. 解: 例1 计算函数（自学课本 例1）Date10返回上页页下页页目录录内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续Date11返回上页页下页页目录录课后练习习题73 1（偶数题）；2（2）；4思考与练习1. 已知答案: 2. 设（详细解答见下页）Date12返回上页页下页页目录录解: 利用轮换对称性 , 可得注意: x , y , z 具有轮换对称性 2. 设Date13返回上页页下页页目录录函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .3. 选择题Date14返回上页页下页页目录录在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1) 因故函数在点 (0, 0) 连续 .但偏导数在点 (0,0) 不连 4. 证明函数所以Date15返回上页页下页页目录录同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续 .2)3)Date16返回上页页下页页目录录4) 下面证明可微 :说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则Date17
