相似矩阵及二次型知识要点

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1、相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 知知 识识 要要 点点一、内容提要一、内容提要1. 1. 向量的内积向量的内积(1) (1) 定义定义1 1 设有 n 维向量 x = (x1 , x2 , , xn)T , y = (y1 , y2 , , yn)T, 令 x, y = x1y1 + x2y2 + + xnyn 称为向量向量 x x 与与 y y 的内积的内积.内积满足下列运算规律内积满足下列运算规律: :(i)(i) x, y = y, x;(ii)(ii) x, y = x, y;(iii)(iii) x + y, z = x,z + y,z.(2)(2) 定义定义 2 2 称为 n 维

2、向量 x 的长度长度(或范数范数).向量长度具有下列性质向量长度具有下列性质: :(i)(i) 非负性非负性: : 当 x 0 时 , | x | 0 ; 当 x = 0 时, | x | = 0.(ii)(ii) 齐次性齐次性: : | x| = | | x |;(iii)(iii) 三角不等式三角不等式: : | x + y | | x | + | y | .向量内积满足施瓦茨不等式向量内积满足施瓦茨不等式: :x, y2 x, xy, y. 称为 n n 维向量维向量 x x 与与 y y 的夹角的夹角. 当 x, y = 0 时, 称向向量量 x x 与与 y y 正交正交.(3)(3

3、) 当 | x | 0, | y | 0 时, (4) (4) 正交向量组的性质正交向量组的性质若 n 维向量 a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量组, 则(i)(i) a1 , a2 , , ar 必线性无关;(ii)(ii)(5) (5) 定义定义 3 3 设 n 维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V(V Rn) 的一个基, 如果 e1 , e2 , , er 两两正交, 且都是单位向量, 则称 e1 , e2 , , er 是 V 的一个规范正交基规范正交基. .(6) (6) 施密特施密特 (Schmidt) (Schmidt) 正交化过程正交化过程从线性

4、无关向量组 a1 , a2 , , ar 导出与之等价的正交向量组 b1 , b2 , , br 的过程称为施密特施密特正交化过程正交化过程若 a1 , a2 , , ar 是向量空间 的一组基,通过正交化, 单位化, 都可以找到与之等价的一组规范正交基 e1, e2 , , er , 称为把 a1 , a2 , , ar 这个基规范正交化规范正交化.(7) (7) 定义定义 4 4 若 n 阶方阵 A 满足ATA = E ( 即 A-1 = AT), 则称 A A 为正交矩阵为正交矩阵.A = (aij)nn 为正交矩阵的充要条件是或(8) (8) 定义定义 5 5 若 P 为正交矩阵, 则

5、线性变换 y = Px 称为正交变换正交变换.正交变换具有保持向量长度不变的优良性质.2. 2. 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量(1) (1) 定义定义 6 6 设 A 是 n 阶方阵, 如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式Ax = x成立, 那么, 数数 称为方阵称为方阵 A A 的特征值的特征值, 非零列向量x x 称为称为 A A 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量.| A - E | = 0 称为方阵 A 的特征方程特征方程,f( ) = | A - E | 称为方阵 A 的特征多项式特征多项式.n 阶方阵 A 有 n 个特征值. 若 A = (ai

6、j) 的特征值为 1 , 2 , , n , 则有(i)(i) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;(ii)(ii) 1 2 n = |A| .(2) (2) 有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论设 是 A = (aij)nn 的特征值, 则(i)(i) 也是 AT 的特征值.(ii)(ii) k 是 Ak 的特征值(k 为任意自然数) ; 是 A 的特征值. 其中 = a0 + a1 + + amm , A = a0 E+ a1A + + amAm .(iii)(iii) 当 A 可逆时, 1/ 是 A-1 的特征值; |A|/ 是 A 的特征值.(3) (

7、3) 有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论(i)(i) 对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.(ii)(ii) 对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.3. 3. 相似矩阵相似矩阵(1) (1) 定义定义 7 7 设 A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵 P , 使P-1AP = B ,则称 B 是 A 的相似矩阵相似矩阵, 或说矩阵矩阵 A A 与与 B B 相似相似.相似关系的性质相似关系的性质:(i)(i) 自反性自反性: 矩阵 A 与自身相似 ;(ii)(ii) 对称性对称性: 若矩阵 A 与 B 相似, 则矩阵 B 与 A 也相似;(iii)(i

8、ii) 传递性传递性: 若矩阵 A 与 B 相似, 矩阵 B 与 C 相似, 则矩阵 A 与 C 相似.(2) (2) 有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质(i)(i) 若矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同.(ii)(ii) 若矩阵 A 与相似,则 1 , 2 , , n 是 A 的 n 个特征值.(iii)(iii) 若 A = PBP-1 , 则 Ak = PBkP-1 ; (A) = P(B)P-1 .特别地, 若有可逆矩阵 P , 使 P-1AP = 为对角矩阵, 则有 Ak = PkP-1 ; (A) = P()P-1 .(

9、3) (3) A An n n n 的对角化的对角化(i)(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.(ii)(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值, 则 A 与对角矩阵相似 , 即 A 可对角化.4. 4. 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵(1)(1) 实对称矩阵的特征值为实数.(2)(2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)(3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关.(4)(4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP =

10、,其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩阵.5. 5. 二次型及其标准形二次型及其标准形(1) (1) 定义定义 8 8 含有 n 个变量 x1 , x2 , , xn 的二次齐次函数f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 + +annxn2 +2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn 称为二次型二次型.二次型可记为 f = xTAx, 其中 AT = A. A 称为二次型二次型 f f 的矩阵的矩阵, f 称为对称矩阵称为对称矩阵 A A 的二次型的二次型. 对称矩阵 A 的秩称为二次型二次型 f f 的秩的秩.二次

11、型与它的矩阵是一一对应的.当 aij 是复数时, f 称为复二次型复二次型;当 aij 是实数时, f 称为实二次型实二次型. 我们只讨论实二次型.(2)(2) 只含平方项的二次型, 称为二次型的标标准形准形( (或法式或法式) ).(3)(3) 化二次型为标准形化二次型为标准形(i) (i) 任给可逆矩阵C, 令 B = CTAC,如果 A 为对称矩阵, 则 B 亦为对称矩阵, 且 R(B) = R(A).(ii)(ii) 任给实二次型总有正交变换 x = Py, 使 f 化为标准形f = 1y12 + 2y22 + + nyn2 ,其中 1, 2 , , n 是 f 的矩阵 A = (ai

12、j)nn 的特征值.(iii)(iii) 拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准形, 此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换. 6. 6. 正定二次型正定二次型(1) (1) 定义定义 9 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如果对任何 x 0, 都有 f(x) 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型正定二次型, 并称对称矩阵 A A 是正定的是正定的, 记作A 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) 0, 则称 f 为负定二次型负定二次型, 并称对称矩阵 A A 是负定的是负定的, 记作 A 0.(2) (2) 惯性定理惯性定理设有实二次型 f = xTAx, 它的秩

13、为 r , 有两个实的可逆变换x = Cy 及 x = Pz ,使得 f = k1y12 + k2y22 + + kryr2 ,及 f = 1y12 + 2y22 + + ryr2 ,则 k1 , k2 , , kr 中正数的个数 p 与 1 , 2 , , r中正数的个数相等. p 称为正惯性指数正惯性指数; r - p = N 称为负惯性指数负惯性指数; s = p - N = 2p - r 称为 f 的符号 差.(3) (3) 正定二次型的判定正定二次型的判定n n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A A 为正定的充要条件有为正定的充要条件有:(i)(i) p = n;(ii)(ii) A 的

14、特征值全为正;(iii)(iii) A 的各阶主子式都为正, 即基本要求基本要求1. 1. 理解向量的内积、范数、正交矩阵的概念, 掌握施密特(Schmidt)正交化方法.2. 2. 掌握矩阵的特征值、特征向量的概念,熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法.3. 3. 掌握矩阵与对角矩阵相似的充要条件, 了解任意实对称矩阵都能对角化. 二、基本要求与重点、难点二、基本要求与重点、难点4. 4. 掌握实二次型的矩阵表示法,能熟练地用正交变换(或用非退化线性变换)化实二次型为标准形.5. 5. 掌握正定二次型、正定矩阵的概念,能判定正定二次型.重点重点 特征值与特征向量的概念与求法; 矩阵与对角矩阵相似的条件及把矩阵化为相似对角矩阵的方法;化二次型为标准形;正定二次型的判定.难点难点 化矩阵为相似对角矩阵的方法;惯性定理.本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课

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