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1、3.2 多元线性回归模型的估计 估计方法：OLS、ML或者MM一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题六、估计实例 一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数的参数估计值已经得到，则有 ： i=1,2n根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 其中于是得到关于待估参数估计值的正规方程组 ： 正规方程组的矩阵形式即由于XX满秩，故有 将上述过程用矩阵表示如下： 即求解方程组 ：得到： 于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中， 可求得 于是 正规方程组 的另一种写法对于正规方程组 于是 或 (*)或（*
2、）是多元线性回归模型正规方程组的另一 种写法 (*)(*)样本回归函数的离差形式i=1,2n其矩阵形式为 其中 ：在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 随机误差项的方差的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 *二、最大或然估计对于多元线性回归模型易知Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率即为变量Y的或然函数 对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。因此，参数的最大或然估计为结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计（Moment Method, MM） OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正 规方程组并对它进行求解而完成的。该正规方程组 可以从另外一种思
3、路来导: 求期望 :称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总 体回归方程所具有的内在特征。 由此得到正规方程组 解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV) 和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础 在矩方法中关键是利用了E(X)=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1 个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是 IV。 如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构 成一组包含k+1方程的矩条件。这就是GMM。四、参数估计量的性质在满足
4、基本假设的情况下，其结构参数的普通 最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性 这里利用了假设: E(X)=03、有效性（最小方差性） 其中利用了 和五、样本容量问题 所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理 和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 最小样本容量样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）,即n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+12、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足 模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能 得到理论上的证明六、多元线性回归模型的参数估计实例 例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居 民人均消费一元线性模型。这里我们再考 虑建立多元线性模型。解释变量：人均GDP：GDPP前期消费：CONSP(-1)估计区间：19792000年Eviews软件估计结果
