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1、第三节 二项分布与正态分布 一 二项分布 1 二项分布的定义 定义 在一定条件下做试验，若对该试验 中的每一个试验结果（即样本点或基 本事件） ，都唯一地对应着一个确定 的实数 则称 为随机变量，简 记为 简言之，随机变量即为试验结果的函数。 例1 设有产品100件，其中有10件次品， 现从中任取5件，问：抽得的次品数是多少 ？ 例2 某射手每次射击打中目标的概率都 是0.8，现连续向一个目标射击，直到第 一次射中为止，则射击次数X是一个随机 变量，且X=1,2,3, 。 随机变量的概念在概率统计中既基本又 重要，在实际问题中随机变量比比皆是 。如在工业生产中，随便取一产品，问 它的质量指标（
2、强度、硬度、光洁度、 纤维长度， ）是多少，这个质量指标 就可以看作是一个随机变量。我们要学 会把随机变量概念与实际工作中的具体 问题自然地联系起来。 定义 若随机变量X仅取有限多个或可数无 穷多个值，则称X为离散型随机变量。 显然，例1、例2中的随机变量X均为离散型 的。 定义 设离散型随机变量X的取值为 （有限多个或可数无穷多个），则称 为X的概率分布或分布列。 概率分布表： 概率分布的性质： （1） （2） 不难计算出例1、例2中的概率分布： 对例1中的X，有 对例2中的X，有 定义 若随机变量X的概率分布为 则称X服从参数为n,p的二项分布，记作 XB(n,p)。其中，0p1, q=1
3、 p 。 显然，若XB(n,p)，则X取n+1个值： 由二项式定理 不难得知，二项分布满足前述概率分布 的两条性质。 例3 设在单次试验中，事件A发生的概率 为p(0p1)，则在n次独立重复试验中，事 件A发生的次数X满足 其中 例3中所述的概率模型称为独立试验序列概型， 也称为贝努里概型，其中的XB(n,p)。由此可解 决一些实际问题。 例如，设有n个电子元件，每个发生故障的概率 都是p，则发生故障的元件个数XB(n,p)。等等 。 2 二项分布的平均值 定义 设X的概率分布为 则称 为随机变量X的数学期望、期望或平均值、均值，也记 作M(X) E(X)是描述X取值的平均情况的。关于此 定义
4、的合理性，我们举例说明如下。 例4 设随机变量X的概率分布表为 X 100 200 P 0.01 0.99 由于X仅取100与200两个值，可能有人 认为，X的平均值为100与200的算术平 均值 但另一方面，从直觉看来，这个150并不真正体现 X取值的平均，它是将100与200一视同仁的结果。 从概率的角度分析，X几乎只取200为值（因0.99 1），而取100为值的可能性微乎其微（0.01 0 ）。因此我们断言， 这个平均值应该非常接近200，而不是150。究竟 怎样算呢？ 由概率的统计定义，假设进行了1000次（独立重复 ）试验，则大约有10次使X取100为值，而大约有 990次使X取2
5、00为值。我们认为X的平均值应为这 10个“100”与这990个“200”的算术平均值： 这个199就是X的真正的平均值，而它恰是经 过“X的取值乘以相应的概率后再累加”后而得 到的（加权平均）。此即前述定义中的E(X) 例5 设XB(n ,p)，则E(X)=np 3 二项分布的标准差 定义 设X为随机变量，则称 为X的方差，称 为X的标准差。 解释：D(X)是刻划随机变量取值的分散程度的一 个数量指标。 为什么呢？容易想象：既然E(X)为X的平均值， 则可以E(X)为基准，而用 刻划随机波 动（分散）程度。为了消除随机性在人们头脑中形成的不太确 切的印象，可考虑所谓平均波 动程度 （注意 也是随机变量）。这样做原 则上是可以的，但绝对值参与运算往往不方便。为了理论上的 合理和运算上的方便，通常用 来刻划随 机波动程度。这样，总的（平均）波动程度就 变成 ，这就是方差D(X)。 标准差的概率意义与方差是类似的，只 不过大小不一定相等而已。 显然，方差（标准差）越大，波动就越 大（稳定性越差）；方差（标准差）越 小，波动就越小（稳定性越好）。 可以证明：若XB(n ,p)，则 D(X)=npq， 不难得知，二项分布可由其期望与方差完全 刻划。 例6 设随机变量X服从二项分布 ，且E(X)=30，D(X)=20。试求出 这个二项分布的具体形式。布置作业： P158: 1. 2. 3.
