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1、第十一章 梁和结构的位移1111 概述计算位移的目的： 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过 允许的位移限制值。 2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静 定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需 要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移 。2摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就 会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。3桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。4挠度:梁的横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x 轴方向的线位移y挠曲线:梁弯曲变形后的轴线挠曲线方程：5转角：横截面的角位移由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故 横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点
2、的切线 与x轴之间的夹角6位移的计算方法： 1、积分法。 利用弯矩-曲率关系得到挠曲线方程2、叠加法。3、能量法。 包括单位荷载法、图乘法等7用挠曲线方程确定梁的位移是很方便的。但这 样方法不适于求结构的位移。 对于结构的位移，本章介绍单位荷载法，及由 单位荷载法引伸出的图乘法。 1）计算方便，适用面广。不但适用于各种变形形式，而且可用于求解温 度变化和支座移动所引起的位移。 2）一般一次只能计算某一点的某一方向的位移。8112 梁的挠曲线近似微分方程及其 积分等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲 率为在非纯弯曲下，梁的横截面上除弯矩外，还有剪 力，当跨长l与横截面高度h之比较大时，剪力
3、对 梁的变形的影响可略去不计，而有一、梁的挠曲线近似微分方程9从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而y“是q = y 沿x方向的变化率，是有正负的。10注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值y“ ， 正弯矩对应于负值的y“ ，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的y2 与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程11二、挠曲线近似微分方程的积分挠曲线近似微分方程为：积分一次得再积分一次得最后利用边界条件确定积分常数。12边界条件（1）约束条件P ABCP D（1）铰支座（2）固定支座13边界条件（2）连续光滑条
4、件集中力、集中力偶作用处，截面变化处等P ABCPABCAC、CB两段挠曲线方程 不同，但有共同的边界14【例11-1】 一等截面悬臂梁如图所示，自由端 受集中力P作用,梁的抗弯刚度为EIz，求自由端截 面的转角和挠度。15【解】1）梁的弯矩 方程为：挠曲线近似微分方程为2）对x进行两次积分得163）利用边界条件确定积分常数。该梁的边界条件为： 当 x = 0 时 即于是得从而有转角方程挠曲线方程将 x = l 代入得 17【例11 -2】 一承受均布荷载的等截面简支梁如图 所示，梁的抗弯刚度为EIz，求梁的最大挠度及B截 面的转角。18解：1）列弯矩方程挠曲线近似微分方程为2）对x进行两次积
5、分得193）利用边界条件确定积分常数。该梁的边界条件为：当 x = 0 时 当 x = l 时 可求得转角方程和挠曲线方程分别为20最大转角在支座处，根据对称性可知， B支座处 的转角qB为最大挠度在跨中，其值为ymax21【例11-3】 如图所示简支梁，受集中荷载P作用， 梁的抗弯刚度为EIz，试求C截面的挠度和A截面的转 角。22解：1）列弯矩方程PCAC与CB段的弯矩方程 分别为23两段的挠曲线近似微分方程及其积分，分别为AC段 ( 0 x a )24CB段 ( a x l )25该梁的两类边界条件为2)确定积分常数光滑连续条件： 在 x=a 处 q1=q2，y1=y2可得：26支座约束
6、条件：在 x=0 处 y1=0在 x=l 处 y2=0可得：可得：273）两段梁的转角方程和挠曲线方程转角方程：挠曲线方程：284）求指定截面转角和挠度值 A处（x=0）截面的转角为C处（x=a）截面的挠度为29讨论设ab，最大挠度的位置由下式确定 1)最大挠度 得代入左段梁的挠曲线方程得302)跨中挠度 b/l0.50.30.10.01 yC / ymax1.0000.9880.9760.97431通过比较发现，在集中荷载作用于右支座附 近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相 差不到3%。因此工程上认为简支梁上集中力P 的 位置对于最大挠度位置的影响不大，为了计算方 便，可以不考虑集中荷
7、载P 的位置，认为最大挠 度发生在梁跨中点处。这样既可简化计算，又能 保证足够精度。在工程计算中，只要简支梁的荷载方向相同 都可以用跨中挠度代替最大挠度。3211-3 叠加法当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加法。33【例11-4】 如图所示简支粱，承受均布荷载q和 集中力P作用，梁的抗弯刚度为EIz，试用叠加法求 跨中挠度及A截面的转角。34【解】首先将荷载分 解为均布荷载q单独作
8、 用和集中力P单独作用 这两种情况，如图所 示。然后由表11-1查 得每种荷载单独作用 时的跨中挠度和A截面 转角，最后叠加求解 。35均布荷载q单独作用集中力P单独作用时叠加结果为 36【例11-5】 图中所示悬臂梁，梁的抗弯刚度为EIz， 试求C截面的挠度。37【解】 将荷载分解为 集中力P单独作用和均 布荷载q单独作用，如 图所示。 由表Il-I查得，由于集 中力P的作用，C截面的 挠度为38均布荷载q单独作用时由表11-1查得得到梁的C截面挠度为 39叠加法计算梁位移注意事项一、不要漏项二、叠加位移时注意每一项的符号三、注意计算长度的变化公式中长度为l，题目中的计算长度可能是l、a 、
9、2l、2a、l/2或a/2。四、注意杆件整体位移五、注意利用对称性与反对称性40例：已知:AB梁的弯曲刚度为EI, BD杆的拉伸刚度为 EA. 求yc 。A BCD al/2l/2q41解：A BCD al/2l/2qaA BCyc1D alqA BCD alyc2Bq42思考试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 yC 和两支座截面的转角qA 及 qB(a)a4311-4 单位荷载法能量法：利用功和能的概念求解变形固体的位移 、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应 用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要 基础。功：力作用于物体，力在其作用方向上发生位 移，则该力对物体做了功。能：
10、是一种可对物体做功的本领根据能量守恒定律，贮存在物体中的能等于外力 在物体所做的功。 44一、问题的提法外力的功对于线弹性体，力作用点的位移与力的值成 正比关系，如图(c)所示。外力在梁发生变形过程 中所作的功为 即45与之类似，如在截面1上加一矩为m1的力偶，梁产 生图中虚线所示的变形，截面l的转角为q1，外力 偶在梁发生变形过程中所作的功则为在若干外力作用下，粱发生变形时外力的总功可写 作 式中n为外力的总数。当第i个外力是一力偶时， 则代表该力偶的力偶矩，代表该力偶作用截面的 转角。46二、线弹性杆件的变形位能从受弯杆件上截取长为dx的微段，微段的变形 位能dU可通过微段端截面上的力在微
11、段变形上的功 来计算，即，47整个杆件的弯曲变形位能U由微段变形位能的积 分求得：式中M(x)是杆件的弯矩表达式；EI为杆件的抗弯刚度 ；积分限L表示积分在杆件全长上进行。如果考虑剪切变形，杆件的剪切变形能为式中Q(x)是杆件的剪力表达式；G为杆件的剪切弹性 模量；a为剪切修正系数，矩形为1.2。杆件的跨高比 较大时，可以忽略剪力的影响。48受扭杆件的变形能为式中Mn(x)是杆件的扭矩表达式；GIn为杆件的抗扭刚 度；积分限L表示积分在杆件全长上进行。同理，轴力杆件的变形能为式中N(x)是杆件的轴力表达式；EA为杆件的抗拉（压 ）刚度；积分限L表示积分在杆件全长上进行。或49【例11-6】 计
12、算图11-13 (a)所示简支梁在 集中力P作用下的变形位能。梁的抗弯刚度EI 为常数。50【解】 作弯矩图如图(b) 所示。力P两侧的弯矩表达 式分别为变形能为51【例11-7】求如图所示的阶梯杆在力P作用下的变形 位能。 【解】 将阶梯杆分为上、下两段 ，每段上的轴力N和抗压刚度分别为 常数。 52三、单位荷载法梁弯曲时，用单位 荷载法的计算K截面的 位移的公式为K截面的广义位移，包括挠度、转角等。式中：外力作用下梁的弯矩方程K截面处作用单位广义力时，梁的弯矩方程53如果考虑剪切变形，则公式写成式中：外力作用下梁的剪力方程K截面处作用单位广义力时，梁的剪力方程a为剪切修正系数，矩形为1.2
13、。杆件的跨高比较 大时，可以忽略剪力的影响。54广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因 子，称为广义力F；与位移相应的因子，称为广义 位移。常见的广义力有 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的 全位移在力的方向上的分量。2）广义力是单个力偶，则广义位移是它所作用的截 面的转角q欲求的某一截面某一方向的位移，则在该截面 该方向设置一单位力如果要求转角，则作用一个单位力偶553）若广义力是等值、反向的一对力，广义位移为 两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶，广义位 移为两杆的相对转角。欲求的某两点的相对位移或两杆的相对转角转 角，则设置两个方向相反的单位力
14、或单位力偶CM=1M=156(1)求A点水平位移(2)求A截面转角 (3)求AB两点相对水平位移 (4)求AB两杆相对转角思考：试确定指定位移对应的单位广义力。(1)(2)(3)(4) 结果为正：与单位广义力方向相同；结果为负：与单位广义力方向相反；57同理，轴力杆件的计算公式为类似可得到其它基本变形形式的位移计算公式 。对组合变形的构件，其位移为各基本变形形式 的位移的叠加。或式中： 外力作用下杆的轴力方程K处作用单位广义力时，杆的轴力方程58单位荷载法的证明荷载P单独作用时单位荷载 单独作用时59可得再把荷载逐步增加到P时先把 逐步增加到160【例11-8】 求图中所示简支梁上力P作用点的
15、竖 向位移和转角。EI为常数。61解（1）首先计算梁在荷载 作用下的弯矩情况，左段作出弯矩图，如图所示右段62在力P作用点沿位移方向加 单位力，其弯矩表达式为（2）求P作用点的竖向位移左段右段分别对两段进行积分得63在力P作用点加单位力偶， 其弯矩表达式为（3）求P作用点的转角左段右段分别对两段进行积分得64【例11-10】 图中所示的简单桁架中两杆的抗 拉（压）刚度EA相同。求结点力P作用下结点C 在垂直于杆BC方向的位移。65解（1）首先计算桁架在荷载作用下的轴力（2）在力P作用点沿垂直BC方向 加单位力，轴力为则66例:求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移。P67PddsP=1解：1）实际
16、荷载作用下的内力2）单位荷载作用下的内力683）计算位移讨论钢筋混凝土结构G0.4E，矩形截面,a =1.2细长杆件，可以忽略剪力和轴力的影响。6911-5 图乘法用单位荷载法给出的公式一般情况下计算量较大，而图乘法把积分转化 为弯矩图几何参数的乘积，具有简单直观的特点。图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院的学生。70图乘法的条件：1)EI = 常数； 2)杆件轴线是直线； 3)MP图和 图中至少有一个是直线图形 设杆件AB长为L图为直线图形MP图为任意的曲线图形。71dwdw面积矩结论：当前述三个条件被满 足时，位移等于，两个图 形中曲线图形的面积乘以其 形心所对应的直线图形的纵 坐标，再除以EI。面积wCyC72注意： （1）MP图、 图取作面积的图与取作标距 yC 在 杆同侧时乘积为正； （2）MP图、 图均为直线形时，可取任一图作面 积，另一图中取标距； （3）当MP图为曲线， 图为折线时，应分段进行 图乘； （4）yC
