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1、一、阶跃函数和冲激函数我们来讨论这样的一个函数： -1/n 0 1/n tpn(t)n/2求导(虚线代表n增大时的 变化趋势)1.4 阶跃函数和冲激函数rn(t)-1/n 0 1/n t1 1/2该脉冲波形下的面积为1，不妨称其为函数 的强度n n 宽度趋于0,幅 度趋于无穷大, 但强度=1rn(t)-1/n 0 1/n t1 1/2-1/n 0 1/n tpn(t)n/2(t)0 t1单位阶跃函数0 t(t)单位冲激函数(1 )1.单位阶跃函数2.单位冲激函数的定义有两种：狄拉克（Dirac） 给出的定义 函数值只在t = 0时不为零 积分面积（强度）为1 t =0 时， ，为无界函数。 n
2、表示脉冲宽度它们不同于普通函数。(t)0 t1单位阶跃函数0 t(t)单位冲激函数(1 )函数本身有不连续点（ 跳变点）或其导数与积分有 不连续点的情况，这类函数 统称为奇异函数符号函数：(Signum)奇异函数例冲激函数的导数的一阶导数 称为冲激偶 t 可以从下述关系理解公式单位斜变函数(t)0 t1单位阶跃函数若冲激不是发生在原点,而是在 则记为 a0时，a(t)表示t=0处强度 为a的冲激函数；a0 、a0两种情况 两边相等(1)尺度变换证明(2)由上述得:冲激偶尺度变换证明(1)(2)得证已知f(t)，画出g(t) = f (t)和g(2t)4、奇偶性取 当n为偶数时，是t 的偶函数当
3、n为奇数时，是t 的奇函数 是t 的偶函数是t 的奇函数 5.复合函数形式的冲激函数(P21)不作要求，自学考虑：注意：只要积分区间不包括冲激信号(t-t0) 的t=t0时刻，则积分结果必为零 冲激函数的性质总结（1）抽样性 （3）奇偶性 （2）尺度变换(比例性) （4）微积分性质（5）冲激偶 （6）卷积性质 1.5 系统的描述 分析一个系统建立描述系统基本特性的数学模型用数学方法求出它的解对所得的结果赋予实际的含义动态系统：指任意时刻的响应，不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关 。如累加器，积分器，延时系统等。系统按响应与激励之间的关系分为： 动态系统即时系统：任意时刻的响应仅
4、取决于该时刻的激励，而与它过去的历史无关。如 , 加法器，数乘器等。 即时系统激励与响应均为连续信号的系统，为连续系统。激励与响应均为离散信号的系统，为离散系统。系统按响应与激励的信号形式连续系统离散系统一、系统的数学模型： 描述连续系统的数学模型：微分方程；描述离散系统的数学模型：差分方程；描述系统的方法有多种形式：方程描述（输入输出方程和状态方程两种）、框图描述、信号流图描述、 系统函数（系统单位冲激响应）描述等。*系统的各种描述方式之间可以相互转换。 *对于一个确定的系统，输入输出方程形式唯一， 系统函数唯一，而状态方程、框图、信号流图均 可有多种形式。例1、如图所示电路，写出：以 为响
5、应的微分方程； (1)以 为响应的微分方程；解：（1） 激励， 响应代入（1）式得：以 为响应，则 若用则有：微分方程的 一般形式：若用则有：一般:例2、某人向银行贷款 万元，月息为 ，他定于每月初 还款，设第 月初还款为 万元。若令第 月尚未还清的 钱款数为 万元，则有 差分方程的一般形式：一般二、系统的框图表示在用方框图描述时，常用的基本单元有： 积分器 延时器 除了利用数学表达式描述系统模型外，也可以借助 方框图表示系统模型。数乘器 加法器 延迟单元例1.5-1已知某连续系统的框图，写出系统的微分方程。解：（书上25页）例5.1-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程解：先设中间变量
6、，再对两个加法器列方程，最后消 去中间变量。（书上25页）对连续系统,设其最右端积分器的输出为x(t)对两个加法器列式：消去中间变量用 乘 :用 乘 ： 又： 例5.1-3、某离散系统如图所示,写出该系统的差分方程解：先设中间变量，再对两个加法器输出列方程，最 后消去中间变量。对离散系统,设其最左端延时器的输入为x(k)（书上27页）对两个加法器列式：消去中间变量:用 乘以用 乘以总之，已知框图列写其微分(或差分方程)的一般步骤 是 P27连续系统，设最右端的积分器输出为 ；2.逐个写出加法器输出信号的方程； 3.消去中间变量。 1.选中间变量：离散系统，设最左端的迟延单元输入为 例5.1-2
7、某连续系统如图所示,写出该系统的微分方程 （书上26页）消去中间变量的最终结果：简单替换结果一致例5.1-3、某离散系统如图所示,写出该系统的差分方程 （P27）解：1.6 系统的特性和分析方法 对于连续或离散的动态系统，按基本特性可 分为线性系统与非线性系统，时变系统与非时 变系统，因果系统与非因果系统，稳定系统与 非稳定系统等等。本书主要讨论LTI(Linear Time Invariant)系统。一、线性 设系统的激励与响应之间的关系为: 线性性质包括两个内容：齐次性和可加性。激励 作用于系统所引起的响应为 1.齐次性设 为任意常数，若 ，则称系统是齐次的或均匀的 若系统对 的响应等于各
8、激励引起的响应 ,则称 之和即 该系统是可加的 2.可加性一个系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线 性的.一、线性线性特性设 为任意常数，则对于线性系统应有动态系统的响应取决于输入信号: 初始状态:这样，动态系统在任意时刻 （或 ）的响应可以由初始状态 和 区间 或 上的激励 完全的确定。 为简便，设初始时刻为系统的完全响应可写为:根据线性性质，线性系统的响应是 和 单独作用所引起的响应之和,即:零输入响应零状态响应分解特性这样，动态系统是线性系统，应满足：1、分解特性2、零输入线性：当有多个初始状态 时，对所有的初始状态 呈线性。 3、零状态线性：当有多个激励 时，对所有的 呈线性。总之
9、，一个既具有分解特性，又具有零状态线性 和零输入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线 性系统。例题（补充）:设初始状态为x(0)，激励为f(t) ，试判断下列系统是否为线性系统解：由于无法区分 ，所以不是线性系统。满足分解特性。不满足零状态线性。所以不是线性系统。 不具有零状态线性满足分解特性所以不是线性系统。 系统时不变认识:二、时不变性对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。 电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变从方程看:系数是否随时间而变从输入输出关系看:线性时不变系统可由常系数的线性微分方程式或差
10、 分方程式描述。 也就是说，若 则称该系统为时不变系统。对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。 例： 判断下列系统是否为时不变系统？解：当时所以，该系统为时不变系统。当时所以，该系统为时变系统。系统作用：对输入信 号作余弦运算 系统作用:输入信 号乘cost当时所以，该系统为时变系统。当时所以，该系统为时变系统。直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变 换，则系统为时变系统。例： 判断下列系统是否为时不变系统？根据LTI系统的线性和时不变性，可得到LTI系统的微分特性和积分特性：(书上29页）
11、一个系统既是线性又是时不变的，称线性时不变系统。简记为LTI系统.即若则：利用这两个性质可简化计算。 例1.6-1 某连续系统和离散系统的全响应分别为（P29）式中a,b为常数 ,为初始状态,在t=0或k=0时接入激励。上述系统是否为线性的,时不变的?(P30）解： (1)系统的零输入响应和零状态响应分别为 符合分 解特性、 满足零输入线性和零状态线性，因而该系统是线性的。设其零状态响应 由于 是在 时接入的，在 时 ， ，故 上式可改写为：故该系统是时不变的。令 ，则 ，代入上式，相应的积分限改写 为 到 ，得解：(2) 系统的零输入响应和零状态响应分别为： 而且零输入响应满足零输入线性。
12、但零状态响应不满足可加性，因为一般而言 故该系统是非线性的。 符合分 解特性设 该系统的零状态响应：故该系统是时不变的 。时不变性直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变 换，则系统为时变系统。三、因果性1.定义:零状态响应不出现于激励之前的系统（或任 一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值 ，而与将来时刻的输入值无关），称为因果系统现在时刻过去时刻将来时刻现在时刻过去时刻将来时刻确切地说，对任意时刻t0或k0和任意输入f(.),若（或 ）就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。 则（或 ）想一想： 的系统是不是因果系统？设则可见在区间 即零状态响应出现于激励之前，因
13、而该系统是非因果的 2.因果(Causality)/非因果系统直接判断法响应不会超前于激励出现的系统未 来 的 激 励都是因 果系统 常把 t=0 时接入系统的信号，即在t0,f(t)=0 的信号称为因果信号或有始信号。3.因果信号表示为：四、稳定性对有界的输入 ，系统的零状态响应 也是有界的，这称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。 更确切的说，若系统的激励 时，其零状态响应 ， 就称该系统是稳定的，否则称为不稳定的。 BIBO：Bounded Input, Bounded Output 显然，无论激励是何种形式的序列，只要它是有界的 ，那么 也是有界的，因而该系统是稳定的。若 ，则 例2是否稳定？ 例1：是否稳定？ 它随时间t无限增长，故系统是不稳定的。判断一个系统是否稳定，若用此BIBO方法判断， 则必须逐一检验所有的有界输入均为有界输出因无法穷尽所有的有界输入是否都为有界输出 ，所以该方法太复杂，进一步需到第七章讲解。 *建立系统模型或描述系统的方法有多种形式：方程描述（输入输出方程和状态方程两种）、框图描述、信号流图描述、系统函数描述等。*系统函数在分析LTI系统中起重要的作用。*信号流图
