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1、变换群 5.1 引言 5.2 变换群 5.3 Cayley 定理5.1 引言集合 到 自己的映射称为变换 变换是一个特殊的映射,所以关于映射的知识全部 适用于变换,比如单、满变换、一一变换,变换的乘 法(合成) 关于记号: 设 是 上变换,仍然使用： 对于本书规定的变换的一种特殊的符号:： 不采用.两种记号有什么区别? 有n个元素, 上的变换有多少个? 一一变换有 多少个? 记 ,对照群的定义,回答它构 成群吗? 如果不,附加什么条件?5.2 变换群定理1 上全体一一变换关于映射的乘法构成群.举一个例子说明一些问题 例 ，： ，： ，： ，： ， 是 的所有的变换其中 ， 是一一变换 (1)
2、， 构成群 (2) 构成群吗?定义 一个集合 的若干个一一变换对 于乘法作 成的一个群叫做 的一个变换群按照定义,上面的 虽然是群,但不是 的变换群. ， 和 都是 的变换群定理2 假定 是集合 的若干个变换所作成的集 合，并且 包含恒等变换 若是对于上述乘法来 说 作成一个群，那么 只包含 的一一变换,因 而是 的变换群证明(1)恒等变换 就是单位元(2)令 是 的任意元，那么因为 是群，有逆元 ，使得即: 是可逆变换,因而是 的一一变换 例2 假如 是一个平面的所有的点作成的集合， 那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看成 的 一个一一变换我们叫 包含所有绕一个定点的 旋转，那么 作成一个变
3、换群因为假如我们用来表示转 角的旋转，就有 ， 是闭的；结合律当然成立； ； 但 显然不包括 的全部一一变换注: 变换群一般是非交换群变换群在数学上，尤其在几何上的实际应用极广 但就是在群的理论上这种群也有它的重要性.5.3 Cayley 定理定理 任何一个群都同一个变换群同构证明 假定 是一个群， 的元是 ， ， ，我们在 里任意取出一个元 来，利用 构造集合 的一个变换 如下:： ,我们把所有这样得来的 的变换放在一起，作成一 个集合 ， ， ， 我们将证明为此,构造 如下:(1) 是满射 (2) 是单射. (3) 是同态 所以 进一步, 是一个群 注意 到 是的恒等变换 ，定理2， 是 的一 个变换群证完这个定理告诉我们，任意一个抽象群都能够在变换 群里找到一个具体的实例换一句话说，我们不必 害怕，以后会找得到一个抽象群，这个群完全是我 们的脑子造出来的空中楼阁作业: P5012 (使用记号: )
