压杆稳定问题

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1、第 9 章 压杆稳定问题本章主要研究： 压杆稳定概念 压杆临界载荷的确定 压杆稳定条件与合理设计Chapter 9 Stability of column 压杆稳定问题1 Introduction 引言 2 Critical loads of slender column with hinged ends 两端铰支细长压杆的临界载荷 3 Critical loads for slender columns with various support 其他细长压杆的临界载荷 4 Critical stresses for columns with small and inter-mediate s

2、lenderness ratio 中小柔度杆的临界应力 5 Stability analysis and design of columns压杆稳定条件与合理设计1 Introduction 引 言 Three types of balance平衡的三种类型 Concept of stability of column 压杆稳定概念 Other forms of stability problems 其他形式的稳定问题 Three types of balance平衡状态的三种类型刚球平衡的三种类型 Stable 稳定平衡 Unstable不稳定平衡 随遇平衡 （或中性平衡 ） Stabili

3、ty of Rigid bar-Spring Structure 刚杆弹簧系统稳定性演示点击 画面问题的提出19世纪前，砖、石结构19世纪中、后期， 钢铁工业发达失稳是一个严重问题 ，它可能导致整个结 构突然破坏计算临界载荷是一个关键问题，因为它决定了 体系的稳定性。 临界载荷怎样计算？与那些因素有关？分析方法 :The system is slightly disturbed 使系统微偏离, 考察其力学行为 系统微偏状态的两力偶矩Fd 使竖杆更偏斜kdl 使竖杆回复初始竖直位置 三种情况 Fd kdl 即 F kl系统更加偏离初始平衡状态Fd偏离力矩 deviation momentkdl恢

4、复力矩 recovery momentRigid bar-Spring Structure刚杆弹簧系统1.静力法载荷大小 平衡性质 F kl 不稳定平衡系统在初始位置的平衡性质， 与载荷的大小有关，当 F=Fcr 时，系统处于临界状态Fcr kl Critical load 临界载荷Three types of balance平衡的三种类型F由小大，系统从稳定不稳定 2.能量法微扰动后，应变能增加，是否大于外力功临界级数展开 Concept of stability of column压杆稳定概念Stability of Column压杆稳定性点击 画面An ideal slender col

5、umn which is perfectly straight and compressed by a centrally applied load （细长理想直杆轴向 受压）Concept of stability of column压杆稳定性概念F Fcr The equilibrium is unstable不稳定平 衡(The deflection will increase continuously, and the column will collapse压杆继续弯曲,导 致失稳)F Fcr A condition of neutral equilibrium临 界状态(the d

6、eflection will be maintained in a slight bent form压杆在任意微弯位置均可保 持平衡) Critical load临界载荷 axial force which is sufficient to maintain the column in a slightly bent form使压杆可在任意 微弯状态保持平衡的轴向压力(使压杆直线形式的平衡， 开始有稳定转变为不稳定的轴向压力值)Other forms of stability problems 其他形式的稳定问题实质: 刚性杆微偏转情况下的平衡问题 例: 图示结构,AB为刚性杆,BC为弹性梁,

7、在刚性杆 顶端受铅垂载荷P作用,试确定临界载荷值.设BC 抗弯刚度EI为常数.PABCPB刚性杆微偏转时的临界状态 偏离力矩恢复力矩Mr = MBBPMBMB计算临界载荷的基本方法：建立临界状态的平衡方程，确定临界载荷 Examples 例题Rigid rod AD is attached to springs (K= 4.5 kN/m) at B and C and subjected to equal and opposite loads at each end. The rod is in its equilibrium position as shown. Determine the

8、critical load at which the rod will no longer be horizontal. Rod AD will rotate through an angle .Pcr = 4.41 kN2 Critical loads of slender column with hinged ends 两端铰支细长压杆的临界载荷 Eulers Formula 欧拉公式 Discussion about Concept of Stability 关于稳定概念的进一步探讨 Examples 例题 Eulers Formula 欧拉公式注意：M(x) , w 设正法Fcr使压杆

9、在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力方法：使压杆微弯,再求 能保持其平衡的轴向外力求解思路基本方程位移边界条件：取n=1Eulers Formula欧拉公式细长压杆稳定性是Euler于16世纪提出欧拉临界载荷结论 压杆临界状态时的挠曲轴为正弦曲线说明压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的 随遇平衡微弯程度可任意, 但轴线形状一定欧拉公式适用范围： （1）The deflections are assumed small小变形; （2） Linear elastic线弹性。Discussion about Concept of Stability 关于稳定概念的进一步探讨小挠度 理论大挠度 理论 按

10、大挠度理论Large Deflections of Columns , 压杆不存在随遇平衡,过临 界点后，挠度急剧增大，有一不稳定 直线平衡和一稳定的曲线平衡。以微 弯平衡为临界状态特征, 是利用小变形 条件对大挠度理论的一种合理简化。 两种理论的 Fcr 解相同, 说明以 微弯平衡为特征并用挠曲轴近似微 分方程 求解, 既正确, 且简单实用。 当 FFcr , 实际压杆的 wmax 急剧 增大, 说明Fcr同样导致压杆失效, 也 说明采用理想压杆作为分析模型确 定Fcr , 具有实际意义。 曲线 AB 在A 点附近极平坦, 当 F 略超过 Fcr 时, 压杆变形急剧增大 , 说明失稳极危险。

11、实际压杆Load-deflection diagram 例 图示细长压杆，l = 0.8 m, d =20 mm, E = 200 GPa, ss = 235 MPa，求Fcr = ?解：细长杆的承压能力，是由稳定性要求确定的AC杆是拉杆， 9-22 图示桁架，在节点C承受载荷F=100kN作用。二杆均 为圆截面，材料为低碳钢Q275，许用压应力=180Mpa ，试确定二杆的杆径。解： 取结点C分析。BC杆是压杆，考虑到压杆失稳，由于故：得：因此AC杆的直径为：BC杆的直径为： Examples 例题Members AB and BC both have a rectangular cross

12、 section with dimensions as shown, and确定图示桁架不发生失稳的许 用载荷Determine the maximum allowable force P that can be applied to the frame shown without causing either pinned- pinned member to buckle.E= 70 109 N/m2 Free-body diagram of joint B Solution:Member BC is in tension and does not buckle; therefore, we

13、 only consider the compressive member AB. IAB= (0.400)(0.200)3/12 = 266.67 10 6 m4P = 537.12 kN=1.75P3 Critical loads for slender columns with various support 两端非铰支细长压杆的临界载荷 Fixed-Pinned Slender Column一端铰支一端固定细长压杆 Analogy method to determine the critical loads 类比法确定临界载荷 Effective length 相当长度 Example

14、s 例题Fixed-Pinned Slender Column一端铰支另一端固定细长压杆关于 A,B,FR 的线 性齐次方程组非零解的条件：Analogy method to determine the critical loads 类比法确定临界载荷 Effective length 相当长度ml 相当长度相当的两端铰支细长压杆的长度（欧拉公式一般表达式）m 长度因素代表支持 方式对临界载荷的影响约束： Axis of Buckle 失稳弯曲方向y-z平面内铰支， x-z平面内接近固支， 在0.5与1 之间。 （1）球形铰：弯曲与Imin方向一致。 （2）柱形铰：弯曲与(I/2)min方向一

15、致弯曲与Pcr,min方向一致。 Examples 例题例3-1 等截面细长杆，用类比法求 Fcr=?解：1. 失稳形式判断 存在对称与反对称两类微弯平衡形式2. 临界载荷计算例 3-2 图示细长压杆，求 Fcr= ?解：由式(a),(b)与条件(1),(2) ,得 由式(a),(b)与条件(3),(4),(5),得由此得：两组可能的解：A1, A2 与 d 非零解的条件： （欧拉公式一般表达式）由公式分析，临界载荷与哪些因素有关？ 临界载荷之值愈大愈好还是愈小愈好？ 若压杆的横截面是宽为b，高为hb 的矩形，问用公式计算临界载荷时I= ？4 Critical stresses for columns with small and inter-mediate slenderness ratio 中小柔度杆的临界应力 Critical stresses and slenderness ratio 临界应力与柔度 The conditions of Eulers formula to be valid 欧拉公式适用范围 Empirical formula of critical stresses 临界应力经验公式 Examples 例题 Critical stresses and slenderness ratio 临界应力与柔度radius of gyrati