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1、常微分方程常微分方程的基本知识 线性微分方程组理论 高阶线性微分方程2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系一. 什么是微分方程？含有未知量的等式.方 程 ： 未知量是数.代数方程 超越方程 ：未知量是函数.函数方程 ： 微分方程:含有自变量,未知函数及其导数的等式。2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程。2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系解2007年8月4南京航空航天
2、大学 理学院 数学系例2解衰变规律2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系二. 几个基本概念1. 常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一 个，则这样 的微分方程称为常微分方程.都是常微分方程如2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程. 偏微分方程如都是偏微分方程.2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系定义义：微分方程中出现现的未知函数的最高阶导阶导 数或 微分的阶阶数称为为微分方程的阶阶数. 是一阶微分
3、方程； 是二阶微分方程； 是四阶微分方程. 2. 微分方程的阶如:2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系n阶微分方程的一般形式为一般要求解出最高阶导数：2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系如:2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系3. 线性和非线性如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为 整体的一次幂,则称它为线性微分方程.是线性微分方程. 如n阶线性微分方程的一般形式：2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系是非线性微分方程. 如不是线性方程的方程称为非线性方程4. 单个微分方程与微分方程组.2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学
4、系5. 微分方程的解定义微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系例：证明:2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系显式解与隐式解隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系例如有显式解:和隐式解:2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系通解与特解(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.n阶微分方程通解的一般形式为2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系注:2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系特解
5、: 确定了通解中任意常数以后的解.例如2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线. 这就是微分方程的通解与特解的几何意义.2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,相应的定解问题称 为初值问题。过定点的积分曲线;一阶
6、:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系一般地， n阶微分方程 的初始条件是指如下的n个条件:2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系例解由于且2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系解以上方程组得2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系6. 高阶微分方程与微分方程组n阶微分方程的一般形式为一般要求解出最高阶导数：2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程 化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组：2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系2
7、007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系例2将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设则有即有2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系如果引入向量并且则可用向量形式表示一阶微分方程组的初值问题：2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系三 解的存在唯一性定理（p.281.定理1.1）在闭域上满足Lipschitz条件：则上述初值问题在下属区间上存在唯一的解：2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系注1: Lipschitz条件验证比较困难，但是当f (x,t)以及 其对x的偏导数在闭域G上连续，则必然满足 Lipschitz条件；注2:解的延拓：从局部存在性推广到整体存在性f (x,t)在全空间 连续f (x,t)在全空间 对x满足局部Lipschitz条件初值问题的解可以延拓到无限区间2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系
