排列组合二项式11

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1、 1.排列和组合的区别和联系：名 称排 列组组 合 定义义种数符号计计算 公式 关系性质质，从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事 2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还即采取分步还是分类是分类, ,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行, ,确定分多确定分多少步及多少类。少步及多少类。 3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排

2、列问题( (有序有序) )还是还是组合组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多少个元素少个元素. . 解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略(三)、常用解题方法及适用题目类型 直接法：特殊元素法、特殊位置法（两者适用 某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的 位置）、 捆绑法（两个或两个以上的元素必须相邻）、 插空法 （两个或两个以上的元素必须不相邻） 隔板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少 一个）及分组问题. 间接法（排除法） 优化190页（八）

3、住店法188页解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作“客人”，能重复的元素看作“店”，再利用 乘法原理直接求解。例9 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人 获得，获得冠军的可能的种数有（ ）A. B. C D.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列 ，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客人”，每个“ 客人”有7种住宿法，由乘法原理得 种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。练习：（1）把4个不同的小球放入3个分别标有13 号的盒子中，允许有空盒子的放法有多

4、少 种？ （2)将4封信全部投入3个邮筒，可以随意投 ，有多少种不同的投法？例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？（五）189页-例2顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有 种。 分析：先在7个位置上作全排列，有 种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只对应一种排法，（六）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例7 七人坐两排

5、座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有 种.（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人 、后排四人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以两排可看作一排来处理不同的坐法有 种（2）八个人排成两排，有几种不同排法？练 习 6八八. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有_种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装

6、入4个不同的盒内有_种方法. 根据分步计数原理装球的方法共有_例2:3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生 体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分 配方法共有多少? 解法一：首先，将3名医生分配到3所学校，每校1名， 不同的分配方法有A33种； 其次，将6名护士分配到3所学校，每校2名，不同的 分配方法有C62C42C22种； 由分步计数原理，共有A33 C62C42C22 540种“先选后排”法十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。 在个空档中选个位置插个

7、隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, , 每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n 个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数 为为例5:从6个学校中选选出30名学生参加数学竞竞 赛赛,每校至少有1人,这样这样 有几种选选法?分析:问题相当于把30个相同的球放入6个不同盒 子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔 板法”处理.小

8、结：把n个相同元素分成m份，每份至少1 个元素，问有多少种不同分法的问题可以采 用“隔板法”.共有：十四.构造模型策略 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有_ 种一排10个座位，有7个座位有人座，每个座位上都有1人，现空出3个座位，但两端的座位不空，且空出的座位不能有2个或3个相连，求不同的空位方式有几种?练习4 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了 节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中

9、三 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的 两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） （A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种解：练习3:9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？ 1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？ 2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种 分法？ 3.每人3件，有多少种分法？ 4.平均分成三堆，有多少种分法？ 5.分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？ 解：例3:有6本不同的书，分成3堆. （1）如果每堆2本，有多少种分法？（2）如果分成一堆1本，一堆2本，一堆3 本，有多少种分法？ 分析:这与例2不同，区别在于把 6本不同的书分给甲 、乙、丙3人，每人2

10、本，相当于把6本不同的书先分 成3堆，再把分得的3堆分给甲、乙、丙3人.例3:有6本不同的书，分成4堆. （3）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少种分法？（4）如果每堆至多2本，至少1本，有多少 种分法？ 引申：分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3 人， 一组2人；分成甲、乙、丙三组，每组3人.9人分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2 人； 分成三组，每组3人；引申：分成三组，一组5人，另两组各两人；点评：局部均分无序问题易出错.这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 右边的多项式叫做 ( +b) n的 ，其中 （k0,1,2,n）叫做 ，叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，

11、该项是展开式的第 项，展开式共有_项.展开式 二项式系数k+1n+1二项式定理:一般地，对于n N*有分析：解:二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式得到图象的对称轴：（1） 二项式系数的三个性质:（2） 数学思想：函数思想。二项式系数之和:最 值:当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。增减性:系数性质即例1.下面二项展开式中，哪些项的二项式 系数最大？是多少？填在相应的横线上（1

12、）(a+b)20 第 项的二项式系数最 大，是 .（2）(a+b)19 第 项的二项式系数 最大，是 ；10、1111例4、若 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.解：展开式中各项的二项式系数与该项的的系数相等由已知可得：2n-1=1024解得 n=11，有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x 解：设展开式各项系数和为1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n= =（2-1）n=1例8. 的展开式的各项系数和为_例题讲解解:设 项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例题讲解例1 计算并求值解(1):将原式变形例1 计算并求值解:(2)原式样本的频率分布直方图作样本频率分布直方图的步骤： （1）求极差； （2）决定组距与组数; (组数极差/组距)（3）将数据分组；（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；（5）画频率分布直方图。