《大一高等数学 第一章第十节 闭区间上连续函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一高等数学 第一章第十节 闭区间上连续函数的性质（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目录 上页 下页 返回 结束 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 .一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,目录 上页 下页 返回 结束 例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理由定理 1 可知有证: 设上有界 .定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使( 证明略 )推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 目录 上页 下页 返回 结束 定理
2、3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即 推论: 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 .目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明:内必有方程的根 ;取的中点 内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三. 一致连续性已知函数在区间 I 上连续, 即:一般情形,就引出了一致连续的概念 . 定义:对任意的都有在 I 上一致连续 .显然:目录 上页 下页 返回
3、 结束 例如,但不一致连续 .因为取点则 可以任意小但这说明在( 0 , 1 上不一致连续 .定理4.上一致连续. (证明略)思考: P74 题 *7 提示:设存在, 作辅助函数显然目录 上页 下页 返回 结束 内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示: 建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示: 令则易证2. 设作业 P74 (习题110） 2 ; 3; 5一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 至少有一个不超过 4 的 证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .
