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1、第4讲 等参单元和数值积分金朝海 l实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整 的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位 移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度 矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实 上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩 形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关 系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标 系中的局部坐标一一对应。l等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际 领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的 一步。4.1 等参单元l简单杆系问题分析的新途径l等参单元定义的给出l平面问题四边形等参单元计算公式l三维问题六面体等参
2、单元计算公式l采用等参单元的优点简单杆系问题分析之新途径途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容）途径2：建立局部自然坐标系进行单元分析直角坐标系( x , y , z)极坐标(r,) ，2维球坐标系(r, )柱坐标系 (, , z)自然坐标系关于坐标系自然坐标系: 选轨迹上任一点O为原点 用轨迹长度S 描写质点位置Om S质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector) 质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector) l当点的运动轨迹已知时，通常采用自然法 确定点的运动规律、速度、加
3、速度。 l在自然坐标系中表示质点速度，是非常简 单的，因为无论质点处在什么位置上速度 都只有切向分量，而没有法向分量。 新途径：建立局部自然坐标系进行单元分析坐标插值函数：局部自然坐标和整体直角坐标可以建立一种映射关系节点条件：xixj单元内坐标由节点坐标插值表示局部坐标到物理坐标的变换单元位移函数：节点条件：观察：单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的 形状函数通过插值的方式表示。形状函数是用自然坐标给出的，表达式很简单单元应变能：单元刚度矩阵单元外力功等效节点力对于本例自然坐标系下的分 析结果与整体直角 坐标系下的分析结 果完全相同。忽略 单元 间作 用力等参单元定义的给出l等参单元：用
4、同样的节点和相同的形状函 数通过插值的方式表示出单元的几何坐标 与位移的单元，称为等参单元。l如果坐标变换节点数多于位移插值的节点 数，称为超参变换。反之，如果坐标变换 节点数少于位移插值的节点数，则称为亚 参变换。l等参单元的插值函数用自然坐标给出。平面问题四边形等参单元的推导整体直角坐标单元局部自然坐标（一般四边形）（规格化的矩形）映射坐标映射映射节点条件：构造插值函数节点条件：位移函数同理可得：单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形 状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐 标给出。?偏导数变换雅可比矩阵：四边形等参单元形状要求不能有重节点 不能出现内角大于180o的情况 内角最好
5、介于30o-150o之间（有限变形的情况）避免出现三维问题六面体等参单元的计算公式采用等参单元的优点l借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的 工程问题方便地进行有限元离散。l等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参 元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母 单元内进行，相关运算大大简化。l不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂 ，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从 而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用 化程序。4.2 数值积分l数值积分及其基本思想lNewton-cotes积分公式lGauss-Legendre积分公式l等参元中积分阶次的选择关于数值积分l计算刚度矩阵及等效节点载荷
6、列阵的元素时， 往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析 中广泛采用数值积分方法。l数值积分方法是一种近似的方法。一个函数的定积分可以通过n个结 点的函数值的加权组合来表示数值积分的基本思想求积公式插值法至少具有n-1次 代数精度Newton-cotes求积公式l如果n个结点 等距分布，则前 面的插值型求积公式称为Newton-cotes求积 公式。 lNewton-cotes求积公式具有n-1次代数精度l几个常用求积公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2Gauss-Legendre求积公式ln个插值结点非等距分布l结点和积分权系数可以查表l高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数 值，加权后求和，就得到了该函数的积分。l高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积 分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就 是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n 个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果 。 等参元高斯求积公式的一般形式等参元中积分阶次的选择l积分阶次的选择直接影响计算的精度和计 算工作量。l积分阶次的选择必须保证积分的精度。（ 完全精确积分）l很多情况下，实际选取的高斯积分点数低 于精确积分的要求，往往可以取得较完全 精确积分更好的精度。（减缩积分）线性单元完全精确积分 二次单元减缩积分
