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1、主要内容主要内容定义定义最大公因式的求法最大公因式的求法第四节第四节 最大公因式最大公因式多项式互素多项式互素多个多项式的情形多个多项式的情形一、定义一、定义如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因公因式式. .在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式.下面给出最大公因式的定义.定义定义 6 6 设设 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 是是 P P x x 中两个多项式中两个多项式, ,P P x x 中多项式中多项式 d d( (x x) ) 称为称为 f f ( (x x
2、) , ) , g g( (x x) ) 的一个的一个最大公最大公因式因式，如果它满足下面两个条件：，如果它满足下面两个条件：1)1) d d( (x x) ) 是是 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 的公因式；的公因式；2)2) f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 的公因式全是的公因式全是 d d( (x x) ) 的因式的因式. .例如，对于任意多项式 f (x) ，f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0 .二、最大公因式的求法二、最大公因式的求法在有了以上的定义之后，
3、我们首先要解决的是最大公因式的存在问题，以下的证明也给出了一个具体求法.最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法.关于带余除法有以下重要性质：引理引理 如果有等式如果有等式f f ( (x x) = ) = q q( (x x) ) g g( (x x) + ) + r r( (x x) (1) (1)成立，那么成立，那么 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 和和 g g( (x x) , ) , r r( (x x) ) 有相同的公因式有相同的公因式证明证明如果 (x) | g(x) , (x) | r(x) , 那么由 (1) (x) | f (x) .这就是说，
4、g(x) , r(x) 的公因式全是f (x) , g(x) 的公因式.反过来，如果 (x) | g(x) , (x) | f (x) , 那么 (x) 一定整除它们的组合r(x) = f (x) - q(x) g(x) .这就是说， (x) 是 g(x) , r(x) 的公因式 .由此可见如果 g(x) , r(x) 有一个最大公因式 d(x) ，那么 d(x) 也就是 f (x) , g(x) 的一个最大公因式.定理定理 2 2 对于对于 P P x x 中任意两个多项式中任意两个多项式 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) )，在，在 P P x x 中存在一个最大公
5、因式中存在一个最大公因式 d d( (x x) )，且，且 d d( (x x) ) 可以表成可以表成 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 的一个组合，即有的一个组合，即有 P P x x 中多项中多项式式 u u( (x x) , ) , v v( (x x) ) 使使d d( (x x) = ) = u u( (x x) ) f f ( (x x) + ) + v v( (x x) ) g g( (x x) (2) (2)证明证明如果 f (x) , g(x) 有一个为零，譬如说，g(x) = 0，那么 f (x) 就是一个最大公因式，且f (x) = 1 f (
6、x) + 1 0 .下面来看一般情形.不妨设 g(x) 0 .按带余除法，用 g(x) 除 f (x)，得到商 q1(x) ，余式 r1(x)；如果 r1(x) 0，就再用 r1(x) 除 g(x)，得到商 q2(x) ,余式 r2(x)；又如果 r2(x) 0，就用 r2(x) 除 r1(x)，得到商 q3(x) ，余式 r3(x)；如此辗转相除下去，显然，所得余式的次数不断降低，即 ( g(x) ) ( r1(x) ) ( r2(x) ) .因此在有限次之后，必然有余式为零.于是我们有一串等式：f (x) = q1(x) g(x) + r1(x) ,g(x) = q2(x) r1(x) +
7、 r2(x) ,ri-2(x) = qi(x) ri-1(x) + ri(x) ,rs-3(x) = qs-1(x) rs-2(x) + rs-1(x) ,rs-2(x) = qs(x) rs-1(x) + rs(x) ,rs-1(x) = qs+1(x) rs (x) + 0 .rs (x) 与 0 的最大公因式是 rs (x) .根据前面的说明,rs (x) 也就是 rs (x) 与 rs-1 (x) 的一个最大公因式；同样的理由，逐步推上去， rs (x) 就是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式.由等式rs-2(x) = qs(x) rs-1(x) + rs(x) ,得rs(x
8、) = rs-2(x) - qs(x) rs-1(x) .再由等式rs-3(x) = qs-1(x) rs-2(x) + rs-1(x) ,得rs-1(x) = rs-3(x) - qs-1(x) rs-2(x) ,rs(x) = rs-2(x) - qs(x) rs-1(x)rs-1(x) = rs-3(x) - qs-1(x) rs-2(x) 由rs(x) = (1 + qs(x) qs-1(x) rs-2(x) - qs(x) rs-3(x) .然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去rs-2(x) , , r1(x) , 再并项就得到 rs(x) = u(x) f (x) + v(x
9、) g(x) ， 这就是定理中的 (2) 式.证毕证毕由最大公因式的定义不难看出，如果 d1(x) , d2(x) 是 f (x) 与 g(x) 的两个最大公因式，那么一定有 d1(x) | d2(x) 与 d2(x) | d1(x)，也就是 d1(x) = cd2(x),c 0 .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的. .我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用( f (x) , g(x) )来表示首项系数是 1 的那个最大公因式.定理证明中
10、用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法辗转相除法. .例例 设f (x) = x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3 ,g (x) = 3x3 + 10x2 + 2x - 3 ,求 ( f (x) , g(x) )，并求 u(x) , v(x) 使( f (x) , g(x) ) = u(x) f (x) + v(x) g(x) .解解辗转相除法可按下面的格式来作：r2(x)=9x+270于是f (x) = x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3 ,g (x) = 3x3 + 10x2 + 2x - 3 ,r2(x)=9x+27 ,r3(x)= 0 .它们的关系用等式写出来，就是
11、f (x) = q1(x) g(x) + r1(x) ,g(x) = q2(x) r1(x) + r2(x) ,r1(x) = q3(x) r2(x) + r3(x) ,所以 r2(x) = 9x + 27 是 f (x) , g(x) 的最大公因式，于是(f (x) , g(x) = x + 3 .f (x) = q1(x) g(x) + r1(x) g(x) = q2(x) r1(x) + r2(x) 由得r2(x) = g(x) - q2(x) r1(x) = g(x) - q2(x) ( f (x) - q1(x) g(x) )= - q2(x) f (x) +(1 + q1(x) q
12、2(x) ) g(x) 即于是，令就有( f (x) , g(x) ) = u(x) f (x) + v(x) g(x) .三、多项式互素三、多项式互素1. 1. 定义定义定义定义 7 7 P P x x 中两个多项式中两个多项式 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 称为称为互素互素( (也称互质也称互质) )的的，如果，如果 ( (f f ( (x x) , ) , g g( (x x) = 1 .) = 1 .显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.2. 2. 互素的条件互素的条件定理定理 3 3 P P x x 中两个多项式
13、中两个多项式 f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) 互素的互素的充分必要条件是有充分必要条件是有 P P x x 中的多项式中的多项式 u u ( (x x) , ) , v v ( (x x) ) 使使u u ( (x x) ) f f ( (x x) + ) + v v ( (x x) ) g g( (x x) = 1 .) = 1 .证明证明必要性是的直接推论.下面来证充分性.设有 u (x) , v (x) 使u (x) f (x) + v (x) g(x) = 1 .又设 (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式.于是 (x) | f (x) ,
14、 (x) | g(x)，从而 (x) | 1 ，即 f (x) ，g(x) 互素.证毕证毕3. 3. 互素的性质互素的性质定理定理 4 4 如果如果 ( ( f f ( (x x) , ) , g g( (x x) ) = 1) ) = 1，且，且f f ( (x x) | ) | g g( (x x) ) h h( (x x) , ) , 那么那么f f ( (x x) | ) | h h( (x x) . ) . 证明证明由 ( f (x) , g(x) ) = 1 可知，有 u(x) , v(x) 使u (x) f (x) + v (x) g(x) = 1 .等式两边乘 h(x)，得u
15、(x) f (x) h(x) + v (x) g(x) h(x) = h(x)，因为 f (x) | g(x) h(x)，所以 f (x) 整除等式右端，从而f (x) | h(x) . 证毕证毕推论推论 如果如果 f f1 1( (x x) | ) | g g( (x x) ) ， f f2 2( (x x) | ) | g g( (x x) ) 且且( ( f f1 1( (x x) , ) , f f2 2( (x x) ) = 1 ,) ) = 1 ,那么那么f f1 1( (x x) ) f f2 2( (x x) | ) | g g( (x x) .) .证明证明由 f1(x) | g(x) 有g(x) = f1(x) h1(x) .因为 f2(x) | f1(x) h1(x) ，且 ( f1(x) , f2(x) ) = 1 , 所以根据有 f2(x) | h1(x) ，即h1(x) = f2(x) h2(x) ，代入 g(x) = f1(x) h1(x) 即得g(x) = f1(x) f2(x) h2(x) .这就是说，f1(x) f2(x) | g(x) .证
