《上海交大数值分析课件数值分析1-2数值计算的误差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海交大数值分析课件数值分析1-2数值计算的误差（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22数数 值值 计计 算算 的的 误误 差差一、误差来源的分类二、误差分析的重要性三、绝对误差和绝对误差限四、相对误差和相对误差限五、有效数字六、数值运算的误差估计一、误差来源的类型 1.模型误差 从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */2.观测误差 通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */注：通常根据测量工具的精度，可以知 道这类误差的上限值。当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的 误差称为截断误差或方法误差3. 截断误差 求近似解 方法误差 (截断误差)/* Truncation
2、Error */ 例如：在微积分中sinx可展开成但在计算机中计算时，常用前几项来代替，即抛弃了无穷级数的后段，这样就 产生了截断误差。当|x|很小时，常用x代替sinx，其截 断误差大约为 x 3/6。由于计算机字长有限，原始数据的输 入及浮点数运算过程中都有可能产生误差 ，这样产生的误差称为舍入误差4.舍入误差 机器字长有限 舍入误差/* Roundoff Error */在数值分析课程中，主要研究0 截断误差 0 舍入误差 二、误差分析的重要性 考察如下两个方程组试思考这两个方程组的解的关系？容易看出系数矩阵完全相同，而常数项矩 阵有微小差别，右端系数1.9999变成 2.0001，其误
3、差为2.0001-1.9999=0.0002 =0.02%但对应的解为由此看出系数矩阵完全相同，而常数项矩 阵有微小差别的方程组，其解竟然相差得 很大！解的最大误差= 2 = 200%据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这 个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵 着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如 果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片 。值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场 上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂 ，这一罕见
4、的现象将在那里出现。连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将 身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一 个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现， 这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿 上野战服到操场上去。班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将 在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过 操场前往礼堂。三、绝对误差和绝对误差限定义 设某一量的准确值为x，近似值为 x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误 差(简称误差)，记为？判断题：判断题：绝对误差是误差的
5、绝对值绝对误差的性质(1)绝对误差e(x*) 可正可负(2) |e(x*) |的大小标志着x*的精确度(3) 绝对误差e(x*) 未知定义若指定一个适当小的正数 ，使有时用 表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。则 称为近似值 x* 的绝对误差限。绝对误差限的性质(1)在实际问题中，绝对误 差一般是有量纲的，绝对误 差限也是有量纲的。例如，测得某物体的长度为5m，其误 差限为0.01m(2)绝对误差限是正的，有无穷多个若已知 是绝对误差限，由于则比 大的任意正数均是绝对误差限。思考：误差限越大越好吗？思考题：设有两个温度计，其一测量1000时的绝对误差限为5，而另一个 测量100时的绝对误差
6、限为1。问：哪一个温度计更精确？四、相对误差和相对误差限答：虽然后者绝对误差限的数值较小，但第一种温度计更为精确。决定一个量的近似值的精确度除了 要看绝对误差的大小外，还要考虑到 该量本身的大小。定义 绝对误差与准确值之比称为x*的相对误差(2)由于准确值x未知，故实际问题中 ，当| |较小时，常取注(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。当| |较小时，可用下式计算定义 若指定一个适当小的正数 ，使则称 为近似值 x*的相对误差限当x有很多位数字时，常按照“四舍五 入”原则取前几位数字作为x的近似值例：设 x = = 3.1415926取x1*= 3作为的近似值，则五、有效数字取 x2*
7、= 3.14 作为的近似值，则取 x3* = 3.1416作为的近似值，则它们的误差都不超过末位数字的半个 单位。若近似值x*的绝对误差限是某一位的 半个单位，该位到x*的第一位非零数 字一共有n位，则称近似值x*有n位有 效数字，或说x*精确到该位定义：有效数字例：x1*= 3， x2*= 3.14， x3*= 3.1416 作为的近似值，则有效数字分别有 多少位？答：1，3，5例：准确数有多少位有效数字？答：无穷多位有效数字例：设x = 4.26972，x1*= 4.27， x2* = 4.270分别是按四舍五入得到的近似值 ，问它们有何区别？ （请同学们做！ ） 解：x1*= 4.27精
8、确到0.01，有3位有效 数字；而x2*=4.270精确到0.001，有4 位有效数字，可见它们的近似程度完 全不同。近似值后面的零不能随便省去！有效数字的性质(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的 精确度！六、数值运算的误差估计1. 利用微分估计误差(1) 一元函数的误差估计问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则 y的近似值 y*的误差如何计算？解：故相应的误差限计算如下因为(2)二元函数的误差估计 问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值 为x1*, x2* ，则y的误差如何计算？解由于故绝对误差限为与前面类似的推
9、导可得多元函数的误差 估计2. 加减乘除运算的估计误差 （注意：下列公式均省略了“*”）(1)加法运算：即而则相对误差限加法的所有误差估计公式：和的误差(限)等于误差(限)之和(2)减法运算：即而减法的所有误差估计公式：和(差)的误差限等于误差限之和和(差)的误差等于误差之和(差)注意：(3)乘法运算故误差限计算公式为因为积的相对误差(限)等于相对误差(限) 之和故相对误差限计算公式为乘法的所有误差估计公式：(4)除法的所有误差估计公式：注意： 积(商)的相对误差限等于两个 自变量相对误差限的和。例： 设有三个近似数，a=2.31, b=1.93, c=2.24它们都有三位有效数字，试计算p =a+bc，(p)和r(p)并问：p的计算 结果能有几位有效数字？解：由题意可知故因为所以 p = 6.6332精确到小数点 后第一位，故能有两位有效 数字。作业：习题 1，2，3，4
