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1、1.1.3四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数 。pqqppqpq我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4) 之间的关系，你能说出其中任意两个命题之 间的相互关系吗？ 原命题逆命题否命题逆否命题原命题 若p 则q逆命题 若q 则p否命题 若 则 逆否命题若 则 互 逆互 逆互 否互 否互为 逆否互为 逆否四种命题之间的相互关系四种命题间的相互关系例1 “若x2+y20，则x，y至少有一个不为0”是命题A的否
2、命题 ，写出命题A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。解：命题A:若x2+y2=0，则x，y全都为0； 逆命题：若x，y全都为0，则x2+y2=0； 逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y20。 否命题逆命题互为 逆否四种命题的真假性是否也有一定的相 互关系呢？真 真 真探究一原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角 的平分线上.逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相 等.否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个 角的平分线上. 逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两 边距离不相等.原命题原命题 (真) 逆命题逆命题 (真) 否命题否命题 (真) 逆否
3、命题逆否命题 (真)真真真真探究二原命题：若两个三角形全等,则它们的面积相等.逆命题:若两个三角形的面积相等,则它们全等.否命题:若两个三角形不全等,则它们的面积不相等.逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则它们不全 等.原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真)真真假 假探究三原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角逆命题: 若两个角是对顶角，则这两个角相等.否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.逆否命题: 若两个角不是对顶角，则两个角不相等.原命题 (假) 逆命题逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题逆否命题 (假) 假假真真探究四原命题：凡是素数，都是奇
4、数.逆命题: 凡是奇数，都是素数.否命题: 不是素数，不是奇数.逆否命题: 不是奇数，不是素数.原命题 (假) 逆命题逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题逆否命题 (假) 假假假假一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种 情况：原命题题逆命题题否命题题逆否命题题真真真真真假假真假真真假假假假假l 四种命题的真假性之间的关系 ：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关 系.例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0，则 x20，所以 x2+y2 0，也就是说x2+y2 0.因此，原命题的逆否命题为真
5、命题，从而原命题为真命题因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以 当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证 明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题 。求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是 直径. 求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设AB、CD被P平分，则OP是等腰AOB, COD的底边上的中线，所以，OPAB, OPCD但AB和CD都经过点P,且与OP垂直，这是不可能的，所以假设不成立，故弦AB、CD不被P平分，命题得证。连结OA,OB,OC,OD及OP,反证法l 欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“
6、非 q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“ 非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为 反证法。 l反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确证明命题的方法l方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；l方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题逆否命题（若q，则q） 为真，则原命题也为真；l方法三：反证法，证明命题的否定（若p ，则q）为假命题，从而间接地证明了命 题（若p，则q）为真命题。巩固练习 证明：若pq2，则p2q22.l证明一：要证“若pq2，则p2q22”只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成 立。p2q2=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2 逆否命题为真命题，故原命题也为真命题。证明二：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾，假设不成立，即p2q22，故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）小结l1.四种命题间的相互关系；l2.四种命题的真假性之间的关系；l3.命题的证明方法。
