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1、第二节 正交试验设计一、试验设计的基本概念与正交表（一）试验设计在生产和科研活动中，为保证质量，降低成本，经常会 遇到如何选择最优方案的问题。如怎样选择合适的配方，最 合理的工艺参数，最佳的生产条件，安排试验方案能做到时 间最省，效果最好，成本最低。要进行试验就牵涉到试验次数和试验因素的搭配问题， 也就是试验安排问题。多因素试验遇到的最大困难是试验次 数太多，如何搞好试验安排就成为一件十分重要的工作。如 果试验安排得当，就能使试验的次数少，各种因素状态之间 的关系考虑周全，取得事半功倍的效果。 （二）正交试验正交试验是一种科学安排和分析试验的方法。它是利 用“均衡分散性”和“整齐可比性”的正交
2、性原理，从大量的 试验点中挑出适量的、具有代表性、典型的试验点以解决 多因素问题的试验方法。它在各个专业的设计和试验中都 得到广泛应用。正交试验的主要优点是合理安排试验，减少试验次数 ；找出较好的试验方案；找出质量指标与影响因素的关系 ；找到进一步改进产品质量的试验方向等。（三）正交表的结构与特点所谓正交表是有规律的，按顺序排成的表格，是正交 试验的工具，正交试验是通过正交表进行的，最简单的正 交表是 ，如表712所示。表712 正交表列号试验号1231111212232124221常用的正交表有两大类。若记一般的正交表为 ，其含义如 下： 为正交表符号，其右下角 为正交表的行数，即试验次数，
3、 如 表试验次数为4次，括号中的数字 的右上角 为正交表的 列数，即最多可安排因素数， 表最多可安排3个因素，数字 为 每个因素有 个水平， 表每个因素可安排2个水平。该类正交表的行数、列数和水平数间有如下关系： 如二水平正交表 、 、 、 等，三水平正交表 、 等，四水平正交表 等，五水平正交表 等，这一类正交表不仅可考察各因素对试验指标的影响，还可考察因素间交互作用的影响。另一类正交表的行数、列数、水平数之间不满足上面两式的关系，往往只能考察各因素的影响，不能用这些正交表来考察因素间的交互作用。如二水平正交表 、 等，三水平正交表 、 等，混合水平正交表 、 等。正交表有如下特点： （1）
4、每一列中，每个数字出现的次数都相等。如 表中，第1列“1”出现2次，“2”也出现2次，第2列中“1”和“2”也是各出现2次。 （2）任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数组（即左边 的数放在前，右边的数在后），按这一次序排出的数组，每种数组出现的次数相等，如 表里的有序数组共有四种，即（1，1） 、（1，2）、（2，1）、（2，2），它们各出现一次。二、无交互作用的正交设计 与数据分析 （一）试验的设计下面通过一个实例来说明应用正交表来安排试验的一般步骤和 基本原理。例4 某工厂生产一种检查某种疾病用的碘化钠晶体，要求应力 越小越好。退火工艺是影响质量的一个重要环节。现通过正交试验 希望能
5、找到降低应力的工艺条件。在安排试验时，一般应考虑如下几步：1明确试验目的：降低碘化钠晶体的应力。2试验指标：碘化钠晶体的应力，应力越小越好。3制定因素水平表：经过考察、分析，本试验中有升温速度、 恒温温度和恒温时间共3个因素。选因素的水平，首先应考虑选择 范围。对技术上明显坏的或实际上不能使用的水平值，通常不包括 在选择范围。本例中每个因素取3个水平，因素水平表如表713所 示。表713 试验因素水平表因素水平升温速度 A恒温温度 B恒温时间 C130/小时6006小时250/小时4502小时3100/小时5004小时4选正交表、排表头：因素水平确定之后就可选用合适的正交表 ，然后排表头。本例
6、有3个因素，每个因素有3个水平，可选用 正交表，因素安排如表714所示。表714 表头安排列号1 2 3 4因素选正交表的原则是正交表的列数要等于或大于因素的个数，试 验次数应取最少的。在不考虑交互作用的场合排表头时，各因素可 任意排在各列中，但是一经排定，在试验过程中就不能再变动。5排列试验条件：表头排好之后，将表中每一列的数字1，2，3看 成该列中每个因素应取的水平，每一行就是每次试验的条件。例如表的第一列是升温速度 ，在1的位置上写上 /小时，在2的位置上写上 /小时，在3的位置上写上 /小时，其他因素也是同样写法（叫对号入座），如表715所示。表715 试验方案因素 试验号升温速度 /
7、小时恒温温度 恒温时间 小时试验结果 （应力） 度1 2 3 4 5 6 7 8 9（1） 30 （2） 50 （3） 100 （1） 30 （2） 50 （3） 100 （1） 30 （2） 50 （3） 100（1） 600 （1） 600 （1） 600 （2） 450 （2） 450 （2） 450 （3） 500 （3） 500 （3） 500（3） 4 （1） 6 （2） 2 （2） 2 （3） 4 （1） 6 （1） 6 （2） 2 （3） 4表715就是具体的实验方案，表中试验9次，每次试验都是不同因素不同水平的随机搭配，例如第一个试验就是 ，即升温速度为30/小时，恒温温度为
8、600，恒温时间为4小时。6按试验方案进行试验：试验排定之后就必须严格按照排定 的试验方案进行试验，不能再变动。但试验的次序可以任意进行， 不一定按照正交表的试验号的顺序依次试验。但每做一次试验都要 记下所得的结果（即达到的指标）填入表715最右一列试验结果内 。（二）试验结果分析通过不同试验方案的试验得到的试验指标，来分析试验结果并 对试验方案进行评价。对试验结果的分析有两种方法，一是直观分 析法，二是方差分析法。1数据的直观分析（1）计算数据例4的试验结果及直观分析计算如表716所示。表716 试验结果及直观分析计算因素列号 试验号升温速度 /小时恒温温度 恒温时间 小时试验结果 （应力）
9、 度1 2 3 4 5 6 7 8 9（1） 30 （2） 50 （3） 100 （1） 30 （2） 50 （3） 100 （1） 30 （2） 50 （3） 100（1） 600 （1） 600 （1） 600 （2） 450 （2） 450 （2） 450 （3） 500 （3） 500 （3） 500（3） 4 （1） 6 （2） 2 （2） 2 （3） 4 （1） 6 （1） 6 （2） 2 （3） 4(2) (1) (3) (1) (3) (2) (3) (2) (1)6 3 15 5 2 7 1 6 1312 11 3524 14 2011 26 2121 19 184 3.7
10、11.78 4.7 6.73.7 8.7 77 6.3 6极差83.351计算各因素不同的指标和。对第一列， 、 、 分别表示因素 的三个不同水平（即水平1、水平2和水平3）三次试验结果之和，水平1三次试验结果之和与平均值分别为： ，同理可得：， 仔细观察正交表，因素 对应水平1进行三次试验时，因素 和因素 的三个水平各参加了一次试验，由此可见 、 、 之间的差异只反映了 的三个水平间的差异，因为这三组试验条件除了因素 的水平有差异外，因素 与 的条件是一致的，所以可以通过比较这三个平均值的大小看出因素 的水平的好坏。从三个水平计算结果看，因素 水平2最好，因为其指标均值最小。这种比较方法称为
11、“综合比较”。 同样可计算因素 和因素 不同水平三次试验结果之和以及平均值，分别列在表716中，由表中数据可见因素 选水平2，因素 选水平1。即搭配较优的试验方案为 ，相应的升温速度为50/小时，恒温温度为450，恒温时间为6小时。（2）各因素对指标影响程度大小的分析各因素对指标影响程度可从各因素取不同水平时试验结果均值 的极差大小来分析，因为极差大的话，改变这一因素的水平会对指 标造成较大的变化，所以该因素对指标的影响大，反之，影响就小 。本例中，因素 的极差为： 对因素 和因素 的极差可同样计算，结果列于表716中。从三个因素的极差来看，因素 的影响最大，其次是因素 ，而因素 的影响最小。
12、（3）画趋势图展望更好的试验条件为了进一步降低试验指标应力，以每个因素的实际水平用量为横坐标，其试验结果总和为纵坐标，画出各因素的趋势图，见图72所示，从图中可看出这些因素的发展趋势，作进一步分析。图72 从图中可见，恒温温度在450、500、600三个温度上，应力 逐步上升，说明如果温度下降，应力还将继续降低，这意味着原来 的三个水平都选高了，就是450的恒温温度也是高的，再试验时 可将此温度降至400或更低一些。应力随恒温时间为2、4、6小时逐步下降，这也证实了时间长 应力低的一般结论。恒温时间为6小时以上应力也许会更低，但考 虑到节约电力和提高工效等综合效益，恒温时间可以为6小时甚至 更
13、短。 2数据的方差分析 在数据的直观分析中是通过极差的大小来评价各个因素对指标 影响的大小，那么极差要小到什么程度可以认为该因素水平变化对 指标值已经没有显著的差别了呢？为解决这一问题，需要对数据进 行方差分析。在方差分析中，我们假定每一试验是独立进行的，每一试验条 件下的试验指标服从正态分布，这些分布的均值与试验的条件有关 ，可能不等，但它们的方差是相等的。 （1）平方和分解为进行方差分析，从试验结果出发，由于试验条件的不同与试 验中存在误差，因此各试验结果不同，我们可以用总偏差平方和 来描述数据的总波动：其中是 试验次数， 是试验结果的总平均，若记 ，则 ，本例中 ， 。造成数据波动的原因可能是因素所取水平的不同，也可能是试 验误差，也可能两者都有。为此要把由各个原因造成的波动分别用 数量表示。先来分析因素 的不同水平引起的数据波动。考虑因素 三个水平试验结果平均值 、 、 与试验结果总平均值的偏差平方和，记为 ，因为因素 位于第一列上，故下标用“1”表示，其计算式为：这里乘以3是因为每一水平重复进行了三次试验，计算结果为 。 除了误差外只反映因素 不同水平间试验结果的 差异。同理可算出因素 和因素 的偏差平方和：第四
