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1、专题六 代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广，综合性 最强的题型。近5年广东中考查分两类：2014年前，考 查以二次函数为背景，引出几何问题，存在性问题，分 类讨论思想为主；2014年后，考查以几何动态为背景 ，引出二次函数，求最值或点坐标等。解决这类问题常 见方法有：从特殊问题探路，向一般问题推证；借 助动手实践，通过具体操作确认；适当建立联系，通 过计算进行说明。例1（2016滨州）如图，已知抛物线y= x2 x+2与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C. （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求 以A，B，E，F为顶点的平行四边形的
2、面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等 腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由解：（1）令y=0得 x2 x+2=0， x2+2x8=0， 解得x=4或2， 点A坐标（2，0），点B坐标（4，0）， 当x=0时，y=2，点C坐标（0，2）1（2016新疆）如图，对称轴为直线x= 的抛物线经 过点A（6，0）和B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象 限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行 四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式； （3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为
3、24时，请判 断平行四边形OEAF是否为菱形题组训练（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF 不能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF的面积为24时，即 4x2+28x24=24， 化简，得 x27x+12=0，解得x=3或4， 当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形 当x=4时，EOEA，平行四边形OEAF不为菱形 平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可 能为菱形2（2016上海）如图，抛物线y=ax2+bx5（a0）经 过点A（4，5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于 点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D （1）求这条抛物线的表达式；
4、 （2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积； （3）如果点E在y轴的正半轴上，且BEO=ABC，求点E 的坐标解：（1）抛物线y=ax2+bx5与y轴交于点C， C（0，5）， OC=5 OC=5OB， OB=1， 又点B在x轴的负半轴上， B（1，0） 抛物线经过点A（4，5）和点B（1，0）， ，解得 ，这条抛物线的表达式为y=x24x53（2016赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（2 ，0），B（2，0），C（3，5） （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线 的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的P的圆心P的坐标 ； （3）在抛物线上是否存在点
5、Q，使AQ与P相切，若存 在请求出Q点坐标解：（1）A（2，0），B（2，0）； 设二次函数的解析式为y=a（x2）（x+2）， 把C（3，5）代入得a=1； 二次函数的解析式为：y=x24； 设一次函数的解析式为：y=kx+b（k0） 把A（2，0），C（3，5）代入得，解得 ，一次函数的解析式为：y=x+2；例2（2016广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线， BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的 线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QOBD，垂足为O ，连接OA、OP （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什 么四边形？ （2）请判断OA、OP之
6、间的数量关系和位置关系，并加以 证明； （3）在平移变换过程中，设y=SOPB，BP=x（0x2 ），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值解：（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OAOP，理由如下： 四边形ABCD是正方形， AB=BC=PQ，ABO=OBQ=45， OQBD， PQO=45， ABO=OBQ=PQO=45， OB=OQ， AOBOPQ（SAS）， OA=OP，AOB=PQO， AOP=BOQ=90， OAOP；4（2016上海）如图所示，梯形ABCD中，ABDC， B=90，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点 ，点F是射线CD上一
7、点，射线ED和射线AF交于点G，且 AGE=DAB （1）求线段CD的长； （2）如果AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的 长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x， DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围解：（1）作DHAB于H，如图1， 易得四边形BCDH为矩形， DH=BC=12，CD=BH， 在RtADH中，AH= =9， BH=ABAH=169=7， CD=7； （2）EA=EG时，则AGE=GAE， AGE=DAB， GAE=DAB， G点与D点重合，即ED=EA，作EMAD于M，如图1，则AM= AD= ， MAE=HAD， RtAME
8、RtAHD， AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ； GA=GE时，则GAE=AEG， AGE=DAB， 而AGE=ADG+DAG，DAB=GAE+DAG， GAE=ADG， AEG=ADG， AE=AD=15 综上所述，AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段 AE的长为 或15；（3）作DHAB于H，如图2，则AH=9HE=AEAH=x9， 在RtHDE中，DE= ， AGE=DAB，AEG=DEA， EAGEDA， EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ， EG= ， DG=DEEG= ， DFAE， DGFEGA， DF：AE=DG：EG，即y：x=（ ） ：
9、，y= （9x ）5（2016南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4， ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E ，F，且EAF=60 （1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE ，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、 C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15 时，求点F到BC的距离（1）解：结论AE=EF=AF 理由：如图1中，连接AC， 四边形ABCD是菱形，B=60， AB=BC=CD=AD，B=D=60， ABC，ADC是等边三角形， BAC=DAC=60 BE
10、=EC， BAE=CAE=30，AEBC， EAF=60， CAF=DAF=30， AFCD， AE=AF（菱形的高相等）， AEF是等边三角形， AE=EF=AF（2）证明：如图2中， BAC=EAF=60， BAE=CAE， 又BA=AC，B=ACF， 在BAE和CAF中， BAECAF， BE=CF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H， EAB=15，ABC=60， AEB=45， 在RtAGB中，ABC=60AB=4， BG=2，AG=2 ， 在RtAEG中，AEG=EAG=45， AG=GE=2 ，EB=EGBG=2 2， AEBAFC， AE=AF，EB=CF=2 2， 在RtCHF中， HCF=180BCD=60，CF=2 2， FH=CFsin60=（2 2） =3 点F到BC的距离为3
