第三章 线性系统的运动分析3．1 引言数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程以解析形式或数 值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律 解的存在性和唯一性条件 设系统状态方程 如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一 从数学观点，上述条件可减弱为：①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：当且仅当状态方程的解为存在和唯一，对系统的运动分析才有意义③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即： 条件②③可一步合并为要求B(t)、u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积本章随后各节中，均加设系统满足上述解的存在性和唯一性条件 ②输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：线性系统运动＝零输入响应＋零初态响应3．2 连续时间线性时不变系统的运动分析 系统的零输入响应令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程 结论1. 系统自治状态方程的解，具有以下形式 其中 若初始时间取为t0≠0则 连续时间线性时不变系统的运动分析是本章讨论的重点 设其解是t的向量幂级数 则 由对应项 系数相等关系有 式中x0，b1，…，bk，都是n维向量， 且x(0)=b0，故定义： 矩阵指数函数矩阵指数函数的性质 (4) 设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA 则有 矩阵指数函数的算法 1：定义法 2：特征值法 1）若A的特征值为两两互异 则 只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具有编程简单和算法迭代的优点。
P为变换A为约当规范型的变换矩阵p =[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn为A的n个特征向量2）若A的特征值出现重根其中 则 其中 假设的i几何重数为1例三个互异特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3例三个重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=23：有限项展开法 设根1、2、 … n 为A的n个互异特征值 若1为n重特征值例4：预解矩阵法 例:已知 ，求eAt解： 证明：其解为：系统的零初态响应当x(0)=0时，线性时不变系统状态方程 系统状态方程的解，具有以下形式 系统状态运动规律的基本表达式 设系统的状态空间描述为其解为：对初始时刻t0=0情形有表达式 3.3连续时间线性时不变系统的状态转移 矩阵 设连续时间线性时不变系统，状态方程为： 基本解阵矩阵方程 的解阵 称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵 其中H为任意非奇异实常阵 结论：(1) 基本解阵不唯一(2) 由系统自治方程的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵 (3) 连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为 状态转移矩阵 矩阵方程 的解阵(t-t0) 称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。
结论： 1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出2:状态转移矩阵 (t-t0) 唯一，与基本解阵的选取无关 3:状态转移矩阵的形式为 基于状态转移矩阵的系统响应表达式 状态转移矩阵的特性3.5连续时间线性时变系统的运动分析 状态转移矩阵设连续时间线性时变系统，状态方程为 对连续时间线性时变系统，矩阵方程：的解矩阵(t,t0)称为状态转移矩阵 矩阵方程 的解矩阵(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵线性时变系统的运动不管是规律形态还是分析方法都要复杂得多，但运动 规律表达式形式上十分类似于线性时不变系统结论：①基本解阵不唯一②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程 的任意n个线性无关解为列构成 ③对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵 结论：①状态转移矩阵为唯一②状态转移矩阵的形式状态转移矩阵的性质 系统的状态响应 结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解 状态运动计算上的困难对连续时间线性时变系统，一般难以确定状态转移矩阵的解析表达 式，主要用于理论分析中可用数值方法求解线性系统状态运动表达式在形式上的统一性3.6 连续时间线性系统的时间 离散化基本约定： 1）对采样方式的约定采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期T小得多。
2）对采样周期T大小的约定满足Shamnon采样定理给出的条件3）对保持方式的约定零阶保持方式无论是采用数字计算机分析连续时间系统运动行为，还是采用离散控制装置控制连续时间受控系统，都会遇到将连续时间系统化为离散时间系 统的问题基本结论： 给定连续时间线性时变系统 则其在基本约定下的时间离散化描述为 其中 结论： 给定连续时间线性时不变系统 则其在基本约定下的时间离散化描述为 其中 结论 ：①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异例 ：线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程解 3.7 离散时间线性系统的运动分 析不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用迭代法求解其思路 是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出 下一个采样时刻的系统状态 定义：矩阵方程(k+1)=G(k) (k,m), (m,m)=I的解阵(k,m)称为离散时间线性 时变系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的状态转移矩阵。
矩阵方程(k+1)=G (k) , (0)=I的解阵(k),称为离散时间线性时不变系 统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的状态转移矩阵结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为： ( k,m ) =G(k-1)G(k-2)…G(m)离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为： 结论：① (k,m)非奇异 G(i),i=m,m+1,…k-1均为非奇异② (k)非奇异 G非奇异③对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异结论：对离散时间线性时变系统，其解为： 对离散时间线性时不变系统，其解为 定义：对离散时间线性时不变系统 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) x(0)=x0 y(k)=Cx(k)+Du(k) 结论：离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为 第四章 线性系统的能控性和能观测性4．1 能控性和能观测性的 定义能控性和能观测性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性不完全能控但能观测不能控不能观测电路状态能控性，能达性定义 对连续时间线性时变系统 如果存在一个时刻 以及一个无约束的容许控制u(t), 使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。
如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达 注意：对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达 定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1系统能控性，能达性定义 能观测性定义和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；对连续时间线性时变系统如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。
该系统是不完全能观测的由于 可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎等于1其解为；4．2 连续时间线性系统的能控性判据 结论1： (格拉姆矩阵判据) 线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵证明： 充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的必要性证明采用反证法，自阅 由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆矩阵判据的意义主要在于理论分析中的应用结论3：n 维连续时间线性时变系统 设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使 能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变系统： 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵 为非奇异 (格拉姆矩阵判据)主要在于理论分析和推导中的应用结论4 （能控性秩判据）对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQc=n 结论5（能控性PBH秩判据）n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：rank[sI-A，B]=n, sC C为复数域或 rank[iI-A，B]=n，i为系统特征值结论6： （能控性PBH特征向量判据） n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i ，使同时满足TA= i T，T B=0 的左特征向量T =0。
主要在于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中结论7： （约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量结论8： （约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关注：1. 能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中2. 状态向量的线性非奇异变换不改变系统的能控性例图示电路，判断系统能控性条件 解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为： 即（R1R4=R2R3）时，系统不能控否则系统能控 例 系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21} 不为 零向量系统能控当k＝n时，Qk为能控性判别矩阵对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k 结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数＝n。
能控性指数连续时间线性时不变系统： 定义：结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足如下估计： 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：多输入连续时间。