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1、对“用频率来估计概率”教学中几个关键点的认识北京东城教师研修中心雷晓莉吴晓燕2009 年 11 月 810 日“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题组在湖北荆洲召开了第五次初中研讨会，会上呈现了四节课，其中有两节课是“用频率来估计概率”，由于概率内容是实施课程标准后进入到中学的，教师对教学内容的理解和把握相对要比其他章节弱一些，教师讲课的底气明显不足，甚至有一些科学性错误，参加研讨的一线教师大部分都不敢发言，惟恐自己说错了. 会议结束后，针对课堂上出现的问题我调查了一些初中数学教师，得出的结论是大家对“用频率来估计概率”的教学内容认识理解有些欠缺，正象广州教研员许世红老师说
2、的“教师概率统计的专业素养不够”.下面我针对“用频率来估计概率”教学中的几个关键点谈谈我的理解和认识，以提高我们备课的质量. 关键点 1：概率的统计定义概率在中学阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义.对于概率的统计定义的价值以及它和前两种定义的关系可以从以下几个方面来理解.在相同的条件下做大量重复试验，一个事件 A 出现的次数 和总的试验次数 n 之比，称为事件 A 在这 n 次试验中出现的频率当试验次数 n 很大时，频率将稳定在一个常数附近n 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小这个常数称为这个事件的概率这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础
3、上，所以称为概率的频率定义这种对概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性例如，掷一枚质地不均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会不相等，不能用古典概率而只能用统计方法分析这个问题，如果经过大量重复试验，发现随着试验次数不断增加，硬币正面向上的频率越来越稳定在常数 附近，则可以推断事件 A（硬币正面向上）发生的概率为 P(A) = 统计学家克拉梅用瑞典 1958 年的官方统计资料也发现了女婴出生频率总是在 0. 482 左右波动. 如此等等, 随着人们观察对象的广泛化,人们越来越认识到, 对一个随机事件来说, 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的, 并且是
4、客观存在的, 就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样.它就是频率稳定的中心值. 概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值, 并且在试验重复次数 n 较大时, 可用频率给出概率的一个近似值, 这一点是概率统计定义最有价值的地方.概率的统计定义突破了古典概率、几何概率中随机试验要满足“结果等可能”的限制，因而具有一般性，其适用范围也更宽泛从理论上说，古典概率、几何概率的概率也能够通过大量重复试验由频率的稳定性得出，即概率的统计定义的适用范围包括“结果等可能”的随机试验关键点 2：概率与频率的关系频率频率和概率是两个不同概念，频率与试验的次数有关,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数
5、,是随机事件自身的一个属性, 它与试验次数无关. 虽然在统计概率计算中,我们一般用事件发生的频率去代替概率, 这与实际并不矛盾,就象测定一根木棒的长度一样,人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度”,但用量具去测量,总会有误差,测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近,而得不到木棒的“真实长度”值.事实上,人们一般就用测量所得的近似值去代替“真实长度”.只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了.这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样.因此，频率既有随机性（每人每次试验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳
6、定的中心值作为事件发生的概率.于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值”.关键点 3：概率与极限的关系“当试验次数越来越多时，频率就越来越接近于概率”，或者“概率就是频率的极限”，这是一些老师通常的认识误区至于概率为什么不是频率的极限，可以从下面的论述中理解.事件 A 在一次试验中发生的概率为 ,如果在相同条件下进行了 次试验（也就是一个重贝努利试验），事件 A 发生了 次，则事件 A 发生的频率为 ，当 增大时，它越来越稳定于事件 A 的频率 ，这里所说的“越来越稳定” 是否指数学分析中 呢？根据极限的定义, 如果 成立, 则意味着对于
7、任意给定的 ，存在正整数N，当 n N 时, 有 ，但对于 ,无论 n 取多大, 都有可能发生, 比如对于 , 无论 N 取多大, 都有可能出现 的情况, 此时，则 ，所以, 事件 A 的频率稳定于 A 的概率不是指.关键点 4：概率与大数定律的关系由于概率与频率概念不清晰，有些老师误以为“概率就是频率的极限”，导致讲课过程中语言表达往往不是很准确，为此有必要把概率与大数定理的关系阐述如下：贝努利大数定律: 设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于对任意的正数 ，有 .证明：设 ，则令 ，从而 代入切比雪夫不等式有 所以由极限的夹逼法则得 .
8、这就是说，当 足够大时，频率与概率相差不超过 这一事件的概率很接近 1，而通过人们实践又可以证实，概率很接近 1 的事件在一次试验中几乎一定要发生的；概率很接近 0 的事件在一次试验中几乎不可能发生的.于是频率接近于概率这一事件在一次试验中一定要发生的，这就是为什么要用频率来近似地代替概率的理由.关键点 5：概率与必然事件、不可能事件的关系有人认为“不可能事件与概率为 0 的事件等价，必然事件与概率为 1 的事件等价， 随机事件的概率大于 0 而小于 1”,这是具有科学性错误的, 违背了概率概念的实质. 事实上, 随机事件 A 的概率是 0 P(A )1, 这是概率所具备性质，而且必然事件的概
9、率为 1, 不可能事件的概率为 0，但概率为 1 的事件不一定是必然事件, 0 概率事件也不一定是不可能事件. 例如: 向平面内投一质点, 该质点落在平面内任一点都是等可能的, 分别求落在平面内点 A 的概率和落在平面内除点 A 处以外的概率. 这是求随机事件概率问题, 是一个典型的几何概型问题, 但前者的概率为 0, 后者的概率为 1. 发生上述情形的原因在于概率有一个测度, 有测度为 0 的不可数集存在, 并且对于连续函数来说, 在一点处的积分为零. 在古典概型中, 概率为零的事件一定是不可能事件；在几何概型中, 概率为零的事件未必是一个不可能事件. 由对立事件知, 概率为 1 的事件未必
10、是必然事件.关键点 6：概率与实验次数的关系在贝努利实验中事件 A 在一次试验中发生的概率为 ,如果在相同条件下进行了 次试验（也就是一个 重贝努利试验），事件 A 发生了 次，则事件发生的频率为 ，对于任意给定的 ,以 来表示事件 发生的概率，那么由贝努利大数定律有 ，即当 n 趋于无穷大时, 收敛于 .对充分大的 n ,对任意给定的 ,自然可以问 ,这时贝努利大数定律已经无能为力， 但这个问题可以用德莫佛一拉普拉斯极限定理来解答. 事实上, 由于,于是根据德莫佛一拉普拉斯极限定理有 ，其中 是标准正态分布的分布函数，这个式子就是当 n 充分大时，用频率估计概率的误差估计公式.因此用频率估计
11、概率，不一定要做大量试验，小试验也可以，只是偏差大小问题，估计的准确性是否达到要求的精度问题.以上六个认识问题都是从中学课堂教学实践中发现总结出来的，概率统计的教学在中学确实存在很多问题，这些问题归根结底在于教师对概率统计内容理解和把握不到位.俗话说的好“要给学生一杯水，老师得有一桶水. 面对概率统计的教学，原有的“一桶水”都还在吗？显然，由于记忆或平时不曾经常地应用等原因产生的遗忘或知识的流失，原有的“一桶水”可能已经名不符实了. 那么要想教好概率统计，首先，需要教师先学好概率统计的内容，即要先装满“一桶水”；其次要上升到比较高的层次来理解这些知识、思想和方法，即要有高质量的“一桶水”；最后教师在教学过程中，还要结合学生的理解，学生的问题逐步深化自己的理解和认识，即要善于从“一杯水”中吸取营养，以增加“一桶水”的数量和提高“一桶水”的质量.参考文献：1田载今、林立军. 对初中生学习概率定义的思考J.数学教育学报，2006，15（4）.2廖昭懋、杨文礼：概率论与数理统计M. 北京师范大学出版社，1990，3.
