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1、第三章 离散系统的时域分析,本章要点,1、引言,2、常用典型序列及其基本运算,3、离散时间系统的描述和模拟,4、LTI离散时间系统的响应,5、离散时间系统的单位序列响应,6、卷积和,1 引 言,2 常用典型序列及其基本运算,(5) 复指数序列,同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则,应为整数或有理数，否则不是周期序列。,2. 序列的基本运算与波形变换,(1) 序列的相加,（a）,（b）,（c）,序列的相加,(2) 序列的相乘,（a）,（b）,（c）,(3) 信号的差分,对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为,前向差分：,后向差分：,(4) 序列的累加,
2、对离散时间信号而言，信号的累加定义为,即累加后产生的序列在k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。,(7) 序列的尺度变换,序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。,（,），是,序列每隔,点取一点形成的，即时间轴,压缩了,倍。,（,），是,序列每两相邻序列值之间加,个零值点形成的，即时间轴,扩展了,倍。,(8) 信号的分解,比较,(9) 序列的能量,主要讨论线性时不变系统。线性系统： if,then,二 离散时间系统,时不变系统,ifthen,3 离散时间系统的描述和模拟,一. 离散时间系统的数学描述差分方程,例如：,D,（a）单位延时器,（b）加法器,（c）标量乘法器,二
3、离散时间系统的模拟,1. 基本模拟元件,2一阶系统的描述与模拟,描述一阶系统的后向差分方程为,描述一阶系统的前向差分方程为,3N 阶系统后向差分方程的描述与模拟,对于描述一个n 阶系统的后向差分方程,可改写为,可得其模拟框图，如下图所示。,一、 常系数线性差分方程的求解一般形式,简写成,其中,4 LTI离散时间系统的响应,4、变换域法（Z变换法）,逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要,求解过程比较麻烦， 不宜采用。,求解常
4、系数线性差分方程的方法一般有以下几种,全响应齐次通解 特解,自由响应 强迫响应,二、 齐次通解,例1：一阶齐次方程的解,由原方程得：,解： 方法一（迭代法）,方法二：,对应特征方程为,特征根,已知,则,特征根,单实根,重实根,齐次解,不同特征根所对应的齐次解,例1： 求下列差分方程的完全解,其中激励函数 ，且已知,解：特征方程：,齐次通解：,将 代入方程右端， 得,三、 特解,设特解为 形式， 代入方程得,比较两边系数得,解得,完全解为,代入边界条件 ，求,得,一般情况不同激励所对应的特解,特征根,r重等于1的特征根,特征根,特征单根,重特征根,例2： 描述一个线性时不变离散时间系统的差分方程
5、为,且初始状态,，求系统的响应。,解：特征方程,特征根为,由此可得出齐次解的形式为,根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。,当激励,时，,特解为,将特解代入原差分方程，得,通过平衡方程两边系数，求出特解的系数,，得出特解,从而系统的全解,将系统的初始状态代入方程的全解，即,从而求出齐次解的系数为,则系统的响应就是方程的全解，即,与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分析中齐次解常称为系统的自由响应或固有响应。但应注意齐次解的系数是与激励有关的。特解的形式取决于激励信号，常称为强迫响应。,四零输入响应
6、和零状态响应(自学）,零输入响应,零状态响应,离散时间系统的单位序列响应 定义：当LTI离散系统的激励为单位序列 时，系统的零状态响应称为单位序列响应，或单位样值响应、单位取样响应，用 表示。 例1： 系统的差分方程式为 求系统的单位样值响应 解：,5 离散时间系统的单位序列响应,求齐次解 特征方程 三重根,齐次解,（2） 由初始条件， 求,由零状态,激励作用化为一个起始条件,（3）,例2：已知系统的差分方程模型,求系统的单位样值响应。,解：（1） 求齐次解,齐次解为,（2）假设只有x(k)作用， 求对应响应,（3）只考虑 项的作用， 求 由线性时不变性,（4）,讨论： 1. 离散LTI系统作
7、为因果系统的充要条件是 （当k0时） 2. 稳定系统的充要条件是h(k)绝对可和， 即,称为卷积和,2、由线性时不变性， 得,1、任意激励信号 可以表示为单位样值加权取和的形式,设,一、卷积和的定义,6 卷积和,简记为,卷积和运算满足交换律， 分配律， 结合律,用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和,二、卷积和的计算方法,1图解法,反褶,解：,平移,平移,相乘，取和,例1 ：已知某离散系统的单位序列响应试求当激励 时,系统的零状态响应,解： 由于 时 ， ， ， 故 和 均称为因果序列。 由卷积和公式得,2解析法,图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是利用数列求和公式，求得序列的卷积和。表5.2中列出了几种常用序列的卷积和。,解： 由于 时 ， ， ， 故 和 均称为因果序列。 由卷积和公式得,数列求和,离散时间系统与连续时域分析法的比较,1、数学模型 微分方程 差分方程,2、分析线性时不变系统的基础 叠加性和齐次性，时不变性 全响应零输入零状态 齐次通解特解,3、两种系统的特征根的意义不尽相同。对于连续系统，特征根出现在指数函数的幂数中，稳定的系统特征根是位于s平面的左半平内，对于离散系统，特征根出现在指数函数的底数，稳定的系统特征根位于z平面中的系统圆内。,4、零状态响应,连续系统,离散系统,
