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1、数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的 解析式一样,有了解析式便可研究其性质等;而有了数列的 通项公式便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数列的 通项公式往往是解题的突破口、关键点. 因此近年来的高 考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和 非递推关系式），求通项公式的问题，对于这类问题考 生感到困难较大.为了帮助考生突破这一难点，现将求数 列通项的思想方法归纳如下:数列的通项的求法一.常用数学思想 1转化思想；2. 换元思想；3. 方程思想二.常用方法1、已知数列 前n项和Sn， （注意：不要忘记讨论n=1的情形）则2、已知数列an前项之积Tn，一般可求Tn-1， 则a
2、n（注意：不能忘记讨论n=1的情形）. 3、已知 ，且 f(n) 成等差（比）数列，求.an则可用累（迭）加法.4、已知 ，求。则 an 可用累（迭）乘法.5、已知数列 an 的递推关系，研究an与an1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列 为等差或等比数列. 如一阶递推： ,我们通常将其化 为 ，得到数列bn为等比数列。6、已知 an 与 Sn 的关系式，利用 将关系式转化为只含有 an 或 Sn 的递推关系，再利用上述方法求出an.累（迭）相加法求通项若数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+f(n)的和是可求的，则可用多式累（迭）加法求得an.(2008
3、届福建省厦门市高三质量检测)已知数列 。解：由条件以上n1个式子相加并化简，得：an = a1+(n1)2 = 累（迭）相乘法求通项若数列有形如an=f(n)an1的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得an.设an的首项为1的正项数列，且 ，求它的通项公式。解：由题意a1=1 , an0,(n=1,2,3,) , 待定系数法求通项 若数列有形如 的线性递推关系，则可用待定系数法求得an 设递推式可化为an+1+A=p(an+A),得an+1=pan+(p-1)A, 与已知递推式比较，解得 ，故可将递推式化为 【具体思路】构造数列bn,其中 ，则bn+1=
4、pbn，即 所以bn为等比数列.故可求出bn=f(n) ，再将代入 即可得an.已知数列an中，a1=1,an+1=解：设 解法二：由(1)-(2)得： 设 【点评与感悟】1.注意数列解题中的换元思想的运用,如2.对数列递推式 ,我们通常将其化为 ，得到数列bn为等比数列。【具体思路】等式两边同除以 ，得 ，递推式如 an=pan-1+rqn(n2,pqr0,p,q,r为 常数 ) 型的通项的求法（1）若p=q，则可化为 ，从而化为以 为首项，公差等于r的等差数列 ，通项可求。（2）若pq，则可化为进而转化为题型三的数列，从而通项可求。已知数列an满足求 an .解析： ， 得数列an的通项公
5、式为令bn+1是以首项为 ，公比为2的等比 数列，则递推式如 数列的通项求法【具体思路】等价转化为 再化为对比对应系数，解出x，y，进而转化为题型三的数列。（2006年山东高考改编）已知数列an中， ）在直线y=x上，其中n=1,2,3. 求数列 公式。解析： ）在直线y=x上, 令 ， 可化为：与比较系数得 , 可化为： 递推式如的数列通项的求法【具体思路】等价转化为 利用其与 恒等， 求出x,y， 得到一等比数列 得 =f(n)，进而化为题型三的数列。 ， 在数列an中， 求an解：由条件 得 又因 所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列 再用多式相加法可得： 倒数法求通项对于递推式如的数列:求其通项。【具体思路】 两端除以得：（1）若p=-1，则构成以首项为 ，公差为 -q的等差数列 ；（2）若 ，转化为题型三求解。（09保定市摸底）已知数列an满足 时， ，求通项公式 an 。 解：数列 是以 首项，公差为2的等差数列，。递推式如的数列通项的求法【具体思路】若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数， 化为： ，得到首项为 ，公比为r的等 比数列 ，所以 = ，得若p1，则等式两边取以p为底的对数得： 转化为题型三求通项。（09年石家庄市模拟）若数列an中， 且 ，则数列的通项公式为_ 【解析】 及 知 两边取常用对数得： 是以首项为 ，公比为2的等比数列。
