《三角形的__三条中线_三条高_三条角平分线__与三边的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形的__三条中线_三条高_三条角平分线__与三边的关系（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、证明：三角形的三条角平分线必交于一点证明： ,BOCABCEODFODFA设 分 别 为 中 及 的 角 平 分 线并 且 相 交 于 点现 证 明 也 为 的 角 平 分 线过 点 分 别 作 于 于于为 的 角 平 分 线=同 理 :在 RT与 中为 公 共 边即 为 的 角 平 分 线若A 的角平分线 AE 交 BC 于 E则 OA 与 OE 的比例是多少？AO 的长度是多少？设ABC 的三边长 ,BCaAcb且过 O 点作 MNBC ，交 AB 于 M，交 AC 于 N过点 O 作 ODAB 于 D，显然，OD 为ABC 内切圆的半径 r如右图AB CODEFEAB CODNM/(1)
2、2(3):(1):MNBCOANEBCMONBxcbCOxMNcABbxca 又 为 的 角 平 分 线同 理设则 由 (1)会 有由 (2)得即解 得 ()(1)3:bcbMNcaAOEBC由 有222 24()()(2()44():()()SabcacbaabcAODSabcaAObcEarbccbabc其 中 :上 面 为 三 角 形 内 切 圆 半 径下 面 求 长 度在 RTD中 公 式所 以 (:)()()AOcEabccbaab:所 以证明：三角形的三条中线相交于一点证明：设 AB 中线为 CD，AC 中线为 BF，且 CD 与 BF 相交于点 O连接 AO 并延长交于 BC 于
3、 E现证明点 E 为 BC 的中点连接 DF 交 AO 于 G显然 DF 为ABC 的中位线221:2():/:(1),2:1DABEGFCOBEDCGFBECBE 故同 理同 理由 有即即 为 的 中 点即 有 三 角 形 的 三 条 中 线 相 交 于 一 点AB CODEFG接下来求 AO 与 OE 的比例关系显然：AG=GE且：GO：OE=DG：EC=1:2故：OE=2OGGE=3OGAO=AG+GO=4OG所以:AO:OE=4OG:2OG=2 ：12:3AOE即接下来求 AE 的长度2222222222,: coscos4s:4()BcCbaACabbCacAEabbc:设显 然又所
4、 以 AB COD E FG证明三角形的三条高相交于一点证明：ABC 中，设 AB 边上的高 CD 与 AC 边上的高 BF相交于点 O，连接 AO 并延长交 BC 于 E下面证明 AEBC容易证明点 B、C 、F 、D 四点共圆（因为 RTBCD 与 RT BCF 有公共的斜边）所以:DFB=DCB（同弧上的圆周角相等）(1)另外:RTBODRTBAFBOAF又OBD 是OBA 与DBF 公共角所以:OBADBF所以: DFB=OAB，由(1) 有: OAB=DCB又OAB+ AOD=90，AOD= COE所以: DCB+COE=90即证明了: AEBC ()2()2:abcacbaSEA由 海 伦 公 式 易 得AB CODEF求 AO 长度过点 A 作 BC 的平行线过点 B 作 AC 的平行线过点 C 作 AB 的平行线且其两两相交于 M、N、L显然 CDLM平行四边形 ABCM与平行四边形 ABLC所以 LC=AB=CM所以 CD 为 LM 的中垂线同理 AE 为 MN 的中垂线BF 为 NL 的中垂线所以点 O 为MNL 的外心且MNL 的边长分别为ABC 的两倍所以MNL 外接圆的半径为ABC 外接圆半径的两倍，即为 2R即 NO=2R，且 AN=BC224ANRaSabcR4（海伦公式）)()()( acbcabaAB CODEFMNL
