《三角形全等模型解决几何难题[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形全等模型解决几何难题[1]（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、建立“双直角三角形全等”模型解决几何难题复习策略复习时，重点训练“双直角三角形全等”的判定及应用，培养学生的建模思想，并能应用数学模型来解决探究性问题的能力。【引例】在ABC 中，ADBC, BEAC, D、E为垂足，AD 与 BE交与点 H，BD=AD求证：BH=AC 【析解】证明线段相等最常用的方法就是证明三角形全等。在本题中，已知BD=AD，ADB=ADC=90,再找一对元素对应相等即可。这里只能找一对角对应相等，不妨证 HBD=CAD.方法一：利用等角（AHE=BHD）的余角相等来证明；方法二：利用C 的余角相等 证明，学生由 AAS很容易证得。【评注】本题中两个直角三角形的位置，可以
2、看作一个是站着的 RtADC，一个是躺着的 RtBDH，我们把具有这种位置关系的两个直角三角形作为一种数学模型，即“ 双直角三角形全等模型” ，来加以演变和应用，从而轻松地解决我省 08 年的一道中考题。【应用】（湖北 08中考 6）如图 2，已知 中， ，ABC 45， 是高 和 的交点，则线段 的长度为（ ）4ACHADBEHD CBAEH图 1D CBAEH图 2A B4 C D 5623【析解】求 BH 的长，实际上就是证明 BH=AC，因为 ADBC, ABC=45,所以，AD=BD, 从而就转化为引例的证明。本例就是“ 双直角三角形全等模型”的应用。变式训练【变形一】改变引例中条件
3、和结论的位置，可以得到下列命题：已知：ABC 中，ADBC 于 D, E为 AC上一点，AD 交 BE于 H, 且 BH=AC, BD=AD.求证：BEAD【析解】由已知，易得 RtBDHRtADC(HL), CAD=HBD, 再证BEAD,有两种方法：方法一：在AEH 和BDH 中，因 为 AHE=BHD， 由三角形内角和定理可得 AHE=BDH = 90,即得 BEAD。方法二：在 RtADC 中，CAD + C = 90, HDB + C = 90,由三角形内角和定理可得 BEC= 90,即得 BEAD。【评注】证明垂直对于学生来说比较难，一定要让学生能正确地书写证明过程，从而为解决 0
4、8 年中考 试题打好基础。【变式二】让学生对引例变形，得到新的命题。【评注】在许多命题中，都可以适当改变条件或结论，得到新的命题，即“一题多变”，从而对某个问题举一反三，加深理解。 这样不仅训练了学生的创新思维，也提高了学生的积极性和主动性。【应用二】 （08 河北中考第 24 题）如图 14-1，在ABC 中，BC 边在直线l 上，ACBC，且 AC = BCEFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量， 猜 想 并 写 出 AB 与AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ；（2）将 EFP 沿
5、 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-2的 位 置 时 ， EP 交 AC 于 点 Q， 连 结 AP， BQ 猜想 并 写 出 BQ 与 AP 所满 足 的数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图14-3 的 位 置 时 ， EP 的 延 长 线 交 AC 的 延 长 线 于 点 Q，连结 AP，BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 给 出 证明 ； 若 不 成 立 ， 请说明理由【析解】 本题通过平行移动构造对图形的三种状态，蕴含了让
6、学生经历观察、 动手操作、猜测、合理而且将关注 “变化过程中存在的不变量（垂直且相等）”这一重要的数学基本观念作为考查核心试题 的要求层次分明其区别的实质在于对问题情境中“ 变 化过程中蕴涵的不变因素 平移” 现象的领悟，既抓住了问题的关键所在，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同 层次的学生采用不同的评价，体现尊重学生的数学差异，有利于激发学生的思维 激情和潜能，提高 试题的信度和效度（1）比较简便，AB=AP, ABAP(2)由第（ 1）问得到启发，BQ=AP ,BQAP证明的方法：我们看 RtBQC 和 RtACP 和引例中两个直角三角形的位置很类似，
7、所以可以转化为这 个数学模型来证明。 较难 的一步就是找第三对元素对应相等，因为EFP 是等腰三角形，所以QPC=45,又 ACBC,CQ = CP ,由 SAS判定两三角形全等即可。（3）尽管图形位置变了，但结论和证明方法并没有改变。可以让学生试着做一下，证明确有难度的话，可以再给提示。图 14-1 （ E） （ F） B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C 课题总结：几何命题的证明方法很多，但只要能找到规律，找到“ 数学模型”，那么，我 们就可以“以不 变应万变“ ，任何难题都可以迎刃而解。所以，我 们在以后的学习过程
8、中，要不断寻求新的数学方法，逐步提高自己的技能和技巧。练一练（2006 年辽宁沈阳 25题）.如图 1，在正方形 ABCD中，点 E、F 分别为边BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)(1)如图 2，若点 E、F 不是正方形 ABCD的边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图 3，若点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 CB的延长线和 DC的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.(3)如图 4，在(
9、2)的基础上，连接 AE和 EF，若点 M、N、P、Q 分别为AE、EF、FD、AD 的中点，请判断四边形 MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程。建立模型解决几何题例 1、在ABC 中，ADBC, BEAC, D、E 为垂足，AD 与 BE交与点 H，BD=ADD CBAEH图 1 求证：BH=AC 例 2、如图 2，已知 中， ， ， 是高 和 的交ABC 45ACHADBE点，则线段 的长度为（ ）HA B4 C D5623变式训练【变形一】已知：ABC 中，ADBC 于 D, E为 AC上一点，AD 交 BE于 H, 且 BH=AC, BD=AD.求证：B
10、EAD【变式二】如图 14-1，在 ABC中， BC边在直线 l上， AC BC，且 AC = BC EFP的边 FP也在直线 l上，边 EF与边 AC重合，且 EF=FP（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜 想 并 写 出 AB与 AP所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置关 系 ；（2）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-2 的 位 置 时 ， EP 交 AC 于 点Q， 连 结 AP， BQ 猜想并 写 出 BQ与 AP所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-3 的
11、 位 置 时 ， EP 的 延 长 线交 AC 的 延 长 线 于 点 Q，连结 AP， BQ你认为（2 ）中所猜想的 BQ与 AP的 数 量关 系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 给 出 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请说明理由【变式三】.如图 1，在正方形ABCD中，点E、F 分别为边 BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G，则可得结论：AF=DE；AFDE.D CBAEH图 2图 14-1 （ E） （ F） B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C (1)如图 2，若点 E、F 不是正方形 ABCD的边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(2)如图 3，若点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 CB的延长线和 DC的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.(3)如图 4，在(2)的基础上，连接 AE和 EF，若点 M、N、P、Q 分别为AE、EF、FD、AD 的中点，请判断四边形 MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程。
