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1、垂直于弦的直径 教学设计凌源市四官营子中学 王秀焕学习目标 1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题.重点难点 1.垂径定理、推论及其应用（重点） 2.发现并证明垂径定理（难点） 自主预习 1.自读课本,请完成(1)连结圆上任意两点的线段叫圆的 _，圆上两点间的部分叫做_，(2)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做_。激情导入问题：你知道赵州桥吗?它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m，你能求出赵州桥主
2、桥拱的半径吗？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题合作探究同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试.问题：在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _刚才的实验说明圆是_，对称轴是经过圆心的每一条_。3.在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？4.若把 AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？ 5.要求学生在圆纸片上画出图形，并沿 CD 折叠,实验后提出猜想。你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段： 相等的弧： 这样，我们就得到垂径定理垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所
3、对的两条 表达式：如图， AB 为O 的直径，ABCD，ABCDOA BCDOA BCDOE = , = , = ,下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M求证：AM=BM ，弧 AC=BC，弧 AD=BD.分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结 OA、OB 或 AC、BC 即可证明：如图，连结 OA、OB ，则 OA=OB在 RtOAM 和 RtOBM 中RtOAM RtOBM( )AM= 点 和点 关于 CD 对称O 关于 CD 对称当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，弧 AC 与弧BC 重
4、合，弧 AD 与弧 CD 重合 ， ， 推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且 符号语言： BA COMD学以致用,解决引例例思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出它，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线.实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径 R，圆心到弦的距离 d，弦长 a 之间的关系式 2= 2+ 2.【针对训练】1.如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，ODBC ，垂足为 D，已知 OD=5，则弦 AC=
5、 A BCOD2.若圆的半径为 2cm，圆中一条弦长为 2 cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离3是 cm3.如图，O 的半径为 5，P 为圆内一点，P 到圆心 O 的距离为 4，则过 P 点的弦长的最小值是 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的Error!） ，点 O 是这段弧的圆心，C 是Error!上一点，OCAB，垂足为 D，AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是 m.5.如图，在O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦， ODAB 于 D，OE AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形.归纳总结：本节课学习了哪些知识？你有哪些困惑？课后作业1.如图，O 的
6、半径为 5，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5AO.2垂直于弦的直径导学案（1）一、 复习与提问叙述：请同学叙述圆的集合定义？连结圆上任意两点的线段叫圆的_，圆上两点间的部分叫做_，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做_。二、动手实践，发现新知同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。问题：在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_刚才的实验说明圆是_，对称轴是经过圆心的每一条_。三、创设情境，探索垂径定理在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？若
7、把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：这样，我们就得到垂径定理4、垂直于的直径平分弦，并且平分弦所对的两条表达式：下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD.分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中RtOAMRtOBM( )AM= 点和点关于CD对称O关于CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧CD重合，推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且符号语言：四、归纳总结：本节课学习了哪些知识？你有哪些困惑？M B2.在半径为 5cm 的圆中，弦 ABCD,AB=6cm，CD=8 cm，则 AB 和 CD 的距离是（ ） A.7cm B.1cm C.7cm 或 4cm D.7cm 或 1cm凌源市四官营子中学 王秀焕 2015.03.09
