平面向量专题

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1、高一数学辅导班1平面向量专题一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量 共线的单位向量a0a3. 平行（共线）向量：若非零向量 方向相同或相反，则 ；规定零向量与任一向量平行,ab/b4、向量相等： 模相等，方向相同；相反向量： 模相等，方向相反ba5、两个非零向量 、 的夹角：做 = ； = ； 叫做 与 的夹角。OABAOa6、坐标表示： 、 分别是与 轴、 轴同向的单位向量，若 ，则 叫做 的坐ijxyjyixx,a标。7.投影 ：向量 b 在 方向上的投影bcos ； 在 方向上的投影为aabcos二、基本运算：运算 向量形式

2、 坐标形式： ；1,yxa2,yxb加法 平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。三角形加法法则：首尾相连 记：ABC+ =b221减法 起点相同的两个向量的差， （箭头指向被减向量） 记： OBA- =ab2121,yx数乘 是一个 向量 ，aa|方向： 时，与 同向； 时，00与 反向； 时，1,数量积 =bcos| =ab21yx三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若 与 不共线，则对平面内的任意一个向量 ，有且只有一对实数 、1e2 a1；使得 。2a212、向量的模： ；非零向量 与 的夹角：ayxabcos221| yxba3、向量平行： ；向量垂直： b121yx0ba0

3、21四、题型精练类型 1、向量的运算1.化简 。()()ABMOCB2.知 的和向量，且 ，则 ， 。CD为 与 ,AaDbABD3 计算：（1 ） （2）32ab(53)(23)acabc4 已知 ，则 。(,4)(,8)135 已知 ， ，则点 的坐标是 。5ABB6 已知 ,向量 与 相等，求 的值。(1,2)3(2,)axyAB,xy7 已知 ， ， ，则 。,)Cmn(1,4D类型 2、求数量积1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ， （2） ， （3 ）|,|4abb60ab()ab。()(3)2.已知 ，求（1） ， （2） ， （4） 。,6(8,0)|,|a类型 3、向量

4、的夹角1.已知 ， ，求 与 的夹角。|,|ab2ab2.已知 ，求 与 的夹角。(1)(3,)3.已知 ， ， ，求 。,0A,B5CcosBAC4.已知 ， ， （1 ）若 与 的夹角为钝角，求 的范围；（2）若 与 的夹mamab角为锐角，求 的范围。5.已知 ， ，当 为何值时， （1 ） 与 的夹角为钝角？（2） 与 的夹角(6,2)a(3,)bmab为锐角？（当 为锐角时， 0，且 不同向；当 为钝角时， 0，且 不反向 ab、 ab、类型 4、求向量的模1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ， （2） 。|3,|4ab60|ab|3|2.已知 ，求（1） ， （5） ， （6

5、 ） 。(26)(8,)|,|13.已知 ， ，求 。|1|，|2|3ab|4. , ,则 的最大值和最小值分别为 、 。5OA3BA；|-|ab|类型 5、求单位向量 【与 平行的单位向量： 】a|ae1.与 平行的单位向量是 。(12,)2.与 平行的单位向量是 。m3.已知 ，则与 垂直的单位向量是 (3,4)aa高一数学辅导班2BACD BAONCM类型 6、向量的平行与垂直1.已知 ， ，当 为何值时， （1 ） ？（2） ？(,2)a(3,)bm /abab2.已知 ， ， （1） 为何值时，向量 与 垂直？1kk3（2 ） 为何值时，向量 与 平行？类型 7、三点共线问题 且 A

6、BCABC、 、 三 点 共 线 OP12AB121.已知 ， ， ，求证： 三点共线。(0,2)(,)(3,4),2.设 ，求证： 三点共线。5283()ababDab D、 、3.已知 ， ，若点 在直线 上，求 的值。(1,3)(8,1)(1,2a4.已知 A（3，y ） ，B（ ， 2） ，C （6， ）三点共线，则 y=_.95.平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 = + ，其中 ，R ，则 + = _。类型 8、向量的投影1.已知 ，且 ，则向量 在向量 上的投影为 3,2ba4baba类型 9、平面向量基底表示1.已知 ， ， ，请将用向量

7、 表示向量 。(5,10)(,)(5,0)c,bc2.在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交ABCDBOE， DECD于点 若 ， ，则 （ ）FabAFA B C D4213124a123ab3.在 中， 是边 上一点， 则20, ,CB_.类型 10、平面向量的综合应用1, 2),(2),604,(37.abababb、 （ ） 若 是 非 零 向 量 ， 且 满 足 （ 求 与 的 夹 角 ；（ 2） 若 向 量 与 的 夹 角 为 ， 求2.点O（0，0），A（1，2），B（4，5）, 为一动点，及 ，PAtOP（1）t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y

8、 轴上？P 在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。22、如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于C OB不同的两点 ，若 ， ，则 的值为MN， AmCnANmn类型 11、平面向量与三角函数结合 31(cos,in),(cos,in)0,222;3(2) xaxbxbfx A、 已 知 向 量 且（ ） 求 以 及若 的 最 小 值 是 -， 求 的 值 。2 设 其中 x0， 、，)2cos,in(xOOB)1cos(2(1)求 f(x)= 的最大值和最小值； (2)当 ，求| |A OAB3. 已知向量 ， ，(

9、si,1)a(,cs)b(,)（1）若 求 的值。 （2）求 的最小值.ba（3）求函数 = 的单调增区间)(fy类型 12 平面向量与三角形的心 在 中， 为 的重心，特别地ABC1()3PGABPCGAB为 的重心 ；0123123(,)xyp则 过三角形的重心；12D 为 的垂心 PABCPABC向量 所在直线过 的内心 ( 的角分线所在直线)；()(0|BAC的内心；abc 22P为 外 心1. 已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为( )AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形2 已知 O，N，P 在 所在平面内，且 ,0ONBC，且0ABCPA，则点O，N，P 依次是 的高一数学辅导班3（A）重心 外心 垂心 （ B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心3已知 ABC顶点A（1， ），B （2，3）及重心坐标G（1， ），则顶点C的坐标为12_