《浅谈矩阵特征值的估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈矩阵特征值的估计（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、矩阵特征值估计的一个实际应用摘要矩阵的特征值问题是矩阵计算的一个重要方向，在众多的领域中都得到了应用。在这样的大背景下，有必要深入地研究矩阵的特征值的估计问题。基于此，本文将结合国内外对于矩阵的特征值的估计方面的研究，以及一些具体的应用实例，来深入地探索矩阵的特征值的估计问题。关键词矩阵的特征值的估计；特征值；特征向量；特征方程；实际应用1 引言在当今时代，矩阵的特征值问题是矩阵计算的一个重要方向，在众多的领域中都得到了应用。在这样的大背景下，有必要深入地研究矩阵的特征值的估计问题。2 矩阵的特征值问题概述假如 A 是数域 P 上线性空间 y 的一个线性变换下的矩阵，如果存在 P，存在 V，0
2、0，使得 Aa= 成立，那么，就可以说 是 A 的一个特征值，a 是 A 属于特征值00的特征向量。对于上式进行转换可以得到下式：(A E) =0。0这是 n 个未知数凡个齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式=0。也就是说，A0- 0.-21202 1n1201 nnn上式左边 是 的 n 次多项式，将其作为 A 的特征多项式， =0 将其作为A0- 0-A 的特征方程，特征方程的所有根就是 A 的特征值。在数值计算中，矩阵的特征值和特征向量问题占据着非常关键的地位，经常应用的求解方法主要涵盖了迭代法和变换法两种。具体来说，迭代法是进行一系列矩阵向量乘积而将矩阵的特征值和特征向
3、量求解出来，经常应用的方法主要包括 Lanczos 法、Davidson 法等等；变换法就是直接对矩阵进行变换处理，借助于变换的作用，保证能够将矩阵变换成为非常容易求解特征值、特征向量的一个新矩阵。3 有关矩阵的特征值的一些定理假设凡阶方阵 A 的特征值是 ， 是 A 的属于特征值 的特征向量(i=1，2，n)，那iii么，1)kA(k 是常数 )的特征值是从 k ，且仅 是从属于它的特征向量(i=1，2，n)ii2)A2 的特征值是 ；，且 是从属于它的特征向量(i=1，2，n)kii3)Ak 的特征值是 ：，且 是从属于它的特征向量(i=1，2，n)ii4) 的特征值是 ，且 是从属于它的
4、特征向量(i=1 ， 2，n) Aii5)A 可逆的情况下， 的特征值是 ，且 是从属于它的特征向量(i=1，2，n)-1-1ii6)A 可逆的情况下，A 的伴随矩阵 的特征值是 ，且 是从属于它的特征向量A-1ii(i=1，2，n)7)假设 ,那么 f（A)的特征值是 f（ ） ，且 是从nxx.x)f(210 ii属于它的特征向量(i=1，2， ，n)这些定理书上都已证明，将不再一一进行证明。4 矩阵的特征值在实际问题中的应用一利用矩阵的特征值求Fibonacci 数列的通项Fibonacci 数列 ：0，1，1，2，3，5， ，满足条件 =0， = ，kFkF01Fl(k=1，2， ，)
5、 。 1k2kF(1)请解出通项 。现在，可以通过运用矩阵的工具来对于数列的通项进行求解。k解：由公式 (k=0，1，2，) 。1k2F令 A= ， ，101kF10那么，上面的公式能够转化为矩阵的形式 (k=1，2，) kkA(2)由(2)式进行递推能够得到 。(k=l ，2，) 1k(3)通过这种方式，求 的问题就转化成为求 。 ，也就是说，求 的问题。kFkkA= =0A-1-2能够得到 A 的特征值对应于 ， 的特征向量分别为25-21， 12(4) 1，令 1221-2-，通过这种方式，可以得到 Akkkk 121212121k0 所以， kkkF21!2110（5）将 代入（5）得 2-21，(6)kk5F对于任意的一个正整数 k，由(6)式求得的凡都是正整数，在 k=20 的情况下，=6765。20在这一个问题里，利用矩阵的特征值理论能够非常容易地求出 Fibonacci 数列的通项公式。5 结语通常情况下，矩阵的特征值问题是矩阵计算的一个重要方向，在众多的领域中都得到了应用。本文对于矩阵特征值的估计进行了一个浅入地探索，希望有利于矩阵特征值的估计以及实际应用。
