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1、第 1 页 共 82 页1、等差数列一、教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 5 （人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想” 、 “类比”的思想方法。二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学
2、生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、设计思想1教法诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项
3、设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白” ，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析
4、、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。第 2 页 共 82 页五、教学重点与难点重点：等差数列的概念。等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。理解等差数列是一种函数模型。关键：等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。六、教学过程教学环节 情境设
5、计和学习任务 学生活动设计意图创设情景上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。倾听 课堂引入探索研究由学生观察分析并得出答案：在现实生活中，我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,2000 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水
6、库的杂鱼。如果一个水库的水位为 18cm，自然放水每天水位降低 2.5m，最低降至 5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例观察分析，发表各自的意见 引向课题第 3 页 共 82 页如，按活期存入 10 000 元钱，年利率是 0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：时间年初本金（元） 年末本利和（元）第 1年10 000 10 072第 2年10
7、 000 10 144第 3年10 000 10 216第 4年10 000 10 288第 5年10 000 10 360各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。发现规律思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？观察分析并得出答案:引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列，
8、从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点） 。通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。第 4 页 共 82 页等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
9、个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是 5，5，-2.5，72。学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。提问：如果在 与 中间插入一个ab数 A，使 ，A， 成等差数列数列，那么 A 应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有 2ba让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。总结提高由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做 a 与
10、 b 的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中 5 是3 和 7 的等差中项，1 和 9 的等差中项。9 是 7 和 11 的等差中项，5 和 13的等差中项。看来， 73645142,aaa从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则 qpnm深入探究，得到更一般化的结论引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。总结提高等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？由学生经过分析写出通项公式：这个数列的第一项是 5，学会发现规律，并加以第 5 页
11、共 82 页这是我们接下来要学习的内容。、我们是通过研究数列 的第nan 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。第 2 项是 10（=5+5） ，第 3项是 15（=5+5+5） ，第 4 项是 20（=5+5+5+5） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 na5 这个数列的第一项是48，第 2 项是 53（=48+5） ，第 3 项是 58（=48+52） ，第 4 项是 63（=48+53） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 )1(58nan 这个数列的第一项是18，第 2 项是 15.5（=18-2.5）
12、，第 3 项是 13（=18-2.52） ，第 4 项是10.5（=18-2.53） ，第 5项是 8（=18-2.54） ，第 6项是 5.5（=18-2.55）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 )1(5.2nan这个数列的第一项是10072，第 2 项是10144（=10172+72） ，第 3项是 10216（=10072+722） ，第 4 项是10288（=10072+723） ，第5 项是10360（=10072+724） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 )1(7210nan总结。、那么，如果任意给了一个等差数列的首项 和公差 d，它的通项1a公式是什么呢？引导学生根据
13、等差数列的定义进行归纳：2134,(1),adn个 等 式所以 ,12da3引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。第 6 页 共 82 页,34da思考：那么通项公式到底如何表达呢？,12a,2)(13 d,34 aad进一步的分析。总结提高得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以 为首项，d 为公差的等1a差数列 的通项公式为nn)(也就是说，只要我们知道了等差数列的首项 和公差 d，那么这1a个等差数列的通项 就可以表示n出来了。思考，并发表各自的意见。 让学生有自主思考的时空。例 1、求等差数列 8，5，2，的第 20 项.-401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第
14、几项？让两个学生分别对这两小题加以分析。让学生参与课堂。分析：要求出第 20 项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。解：由 =8，d=5-8=-1a3，n=20，得 49)3(2(820由 =-5，d=-9-（-15）=-4，得这个数列的通项公式为 ,14)(nan由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。解这个关于 n 的方程，得 n=100，即-401 是这
15、个数列的第 100 项。应用巩固例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 、 、d、n（独立的量有a13 个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，聆听教师点评 通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。第 7 页 共 82 页如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。随堂练习：课本 45 页“练习”第1 题；完成练习 讲练结合，有利提高学生的知识应用水平例 2某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为 10 元，即最初的 4km（不含 4 千米）计费 10元。如果某人乘坐该市的出租车去
16、往 14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加 1km，乘客需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.na令 =11.2，表示 4km1处的车费，公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时，n=11，此时需要支付车费 )(2.3.1)(2.1 元a答：需要支付车费 23.2 元。学以致用，将所学知识应用到具体生活中去，加深对概念的理解。例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。聆听教师点评 通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本 45 页“练习”第2 题
