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1、 第四章 第三节 正态分布(16)二、正态分布的性质三、正态分布的数学期望与方差一、正态分布的概念在自然界和人类社会生活中有大量的随机变量 或近似服从正态分布. 例如: 产品的质量、 人的身高、 某某市一天的用电量 等等.正态分布是一种常见的重要的概率分布, 这是因为若一个随机变量是由一些相互独立的微小偶然因素的总合构成的, 而每一个偶然因素对总合的影响是均匀微小的,那么这个随机变量就服从或近似服从正态分布.一、正态分布的概念都服从 班学生的考试成绩、定义:如果随机变量 X 的概率密度函数为其中 是常数且 ,则称随机变量 X 服从参数为 的正态分布, 记为显然 且正态分布的分布函数为特别地,
2、当 时称 X 服从标准正态分布，记为其概率密度函数和分布函数分别记为 即有:二、正态分布的性质1、正态分布的分布曲线关于直线 对称（见图） ,这表明， 是正态分布的中心. 如果固定 而改变 的值,则分布曲线沿 x 轴向右或向左平移,其形态不变,正态分布的分布曲线的位置完全由参数 决定.可见2、如果固定 而改变 , 由于概率密度函数 在取得最大值可知当 越小时图形变得越尖; 反之，当 越大时图形变得越平缓.的值刻画了 X 取值的分散程度,越小，取 值分散程度越小,越大，取值分散程度越大.因此,(见图)3. 正态分布的分布曲线以 x 轴为渐近线,4.证:令注:当 时,即有则5.证:为计算方便，已编
3、造 的数值表(书末附表3)供查阅.例1 设随机变量试求：(1)（2）(3)解: (1)(2 )(3)例2. 某地区的月降水量服从(单位：厘米)的正态分布,不超过50cm 的概率.求从某月起连续10个月的月降水量都解:设 X ：该地区的月降水量, 则再设 A ：月降水量不超过50cm，则P连续10个月的月降水量都不超过50cm所以,另外，当 时，由性质4不难得到内,此外还可以看出,这就是概率统计中著名的“3规则”,即服从正态分布的随机变量 X 的取值约有99.7%落入区间仅有0.3%左右落在这个区间之外.若 越小, X 的取值就越集中.（2）若X 与 Y 相互独立,则从而,组合关于正态分布还有以下结论成立(证明从略) :（1）若则对任意常数 a，b，两个相互独立且服从正态分布的随机变量的线性仍服从正态分布( n 个随机变量也有类似结论).三、正态分布的数学期望和方差设其概率密度函数为则即例3.解:因 Z 也服从正态分布, 故只需确定 和 ，即可求出 Z 的概率密度函数.所以Z 的概率密度函数为:的概率密度函数.试求设且 X 与Y 相互独立 ,
